Gleichungen
Lineare Gleichungen
Lineare Gleichungen mit einer Variablen
Eine
lineare
Gleichung
mit einer Variablen besteht aus
zwei Termen
mit einer Variablen, die durch ein
Gleichheitszeichen miteinander
verbunden sind. Beispiele:
1)
4x + 3 = 15;
Lösung x = 3, da 4٠3
+ 3 = 15 (richtig, wahre Aussage)
2)
6x – 14 = 2x + 10;
Lösung x = 6, da
6٠6
– 14 = 22
Die Äquivalenzumformung ist die Umformung einer
Gleichung, bei der sich die Lösung der Gleichung nicht ändert.
Schrittweise Lösung von Gleichung 2) durch Äquivalenzumformungen
6x – 14
=
2x + 10
|
–2x
6x – 14
– 2x
=
2x + 10
– 2x |
+ 14
4x – 14
+ 14
=
10
+ 14
4x
=
24
|
: 4
4x
: 4
= 24
: 4
x
=
6
Beispiel: x + 2y = 4 Es gibt unendlich viele Lösungen, die jeweils aus
Zahlenpaaren (x;y) bestehen.
Beispiele:
(1; 1,5) ist eine Lösung, da 1 + 2٠1,5
= 4 (richtig, wahre Aussage)
Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen
1. Beispiel: I x + 2y = 4
II
3x – 4y = 2
Lösen mit dem Einsetzungsverfahren I x + 2y = 4 | – 2y
I´
x
= 4 – 2y
Einsetzen von I´ in
II: 3 (4 – 2y) – 4y = 2
12
– 6y – 4y = 2
| – 12
–10y = –10 | : (–10)
y = 1 Einsetzen in I: x + 2٠1 = 4 | – 2
x = 2
Lösung:
(2;1) Graphische Darstellung der beiden Gleichungen I und
II mit Lösung
2. Beispiel:
I
2x + 3y = 8,5
II
3x – 2y = 3
Lösen mit dem Additionsverfahren
I
2x + 3y = 8,5
|
٠2
II
3x – 2y = 3
|
٠3 _________________
I´
4x + 6y = 17
II´ 9x – 6y = 9 _________________ I´+II´ 4x + 9x = 17 + 9
13x = 26
x = 2 Einsetzen in I:
4 + 3y = 8,5
| – 4
3y = 4,5
| : 3
y = 1,5 Lösung: (2;1,5) Graphische Darstellung der beiden Gleichungen I und
II mit Lösung
Graphische Veranschaulichung von Beispiel 1
Die Lösungen
x1
=
–1 und
x2
= 1,5 der quadratischen Gleichung
x2
–
2x
–
3
=
0
(1. Beispiel) entspricht den Nullstellen der
quadratischen Funktion mit der Gleichung
Bruchgleichungen
Beispiel:
1. Beispiel:
x²
–
16 = (x + 2)²
x²
–
16 = x² + 4x + 4
|
– x² | – 4
–
16 – 4 = 4x
|
:
4
(–20)
: 4 = x
|
Seiten
vertauschen
x =
–5
Probe: (*) linke Seite:
(*) rechte Seite:
2
linke Seite ≠ rechte Seite, daraus folgt:
x =
–5
ist keine Lösung!
Bemerkung: Beim Quadrieren kann eine Lösung entstehen, die für die
Wurzelgleichung keine Lösung ist.
x²
– 1
= (2 – x)²
x²
– 1
= 4 – 4x + x²
|
–x²
– 1
= 4 – 4x
|
+ 4x | +1
4x = 5
| : 4
Probe: (*) linke Seite:
(*) rechte Seite:
linke Seite = rechte
Seite, daraus folgt:
Exponentialgleichung
Beispiel:
4٠1,6x
=
1,8٠1,2x
| auf beiden Seiten Zehnerlogarithmus lg( )
= log10()
bilden
lg (4٠1,6x)
=
lg (1,8٠1,2x)
|
Logarithmusgesetze anwenden
lg 4 + x٠lg
1,6 =
lg 1,8 + x٠lg 1,2
|
–
lg 4
|
–
x٠lg 1,2
x٠lg
1,6
–
x٠lg
1,2 =
lg 1,8
–
lg 4
x٠(lg
1,6
–
lg 1,2)
=
lg 1,8
–
lg 4
x
≈
–
2,77566 (5 D)
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