Gleichungen

Lineare Gleichungen

Lineare Gleichungen mit einer Variablen

Eine lineare Gleichung mit einer Variablen besteht aus zwei Termen mit einer Variablen, die durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden sind.
Ergeben sich beim Einsetzen einer Zahl auf beiden Seiten der Gleichung die gleichen Termwerte, so nennt man die Zahl Lösung der Gleichung.

Beispiele:

1)   4x + 3 = 15;  Lösung x = 3, da 4٠3 + 3 = 15 (richtig, wahre Aussage)

2)   6x – 14 = 2x + 10;  Lösung x = 6, da  6٠6 – 14 = 22

Die Äquivalenzumformung ist die Umformung einer Gleichung, bei der sich die Lösung der Gleichung nicht ändert.
Dabei werden die Rechengesetze angewendet und es gilt:
Addition oder Subtraktion eines Terms oder einer Zahl auf beiden Seiten der Gleichung oder
Multiplikation mit einer Zahl ≠ 0 oder Division der Gleichung mit einer Zahl ≠ 0 ändert die Lösung nicht, sind also eine Äquivalenzumformung.

Schrittweise Lösung von Gleichung 2) durch Äquivalenzumformungen

        6x – 14  =  2x + 10    |  –2x

6x – 14 – 2x  =  2x + 10 – 2x   |  + 14

4x – 14 + 14  =  10 + 14

                4x  =  24  |  : 4

            4x : 4  = 24 : 4

                   x  =  6

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

Beispiel:

x + 2y = 4

Es gibt unendlich viele Lösungen, die jeweils aus Zahlenpaaren (x;y) bestehen.

Beispiele:  (1; 1,5) ist eine Lösung, da 1 + 2٠1,5 = 4 (richtig, wahre Aussage)
                  (3; 0,5) ist eine Lösung, da 3 + 2٠0,5 = 4 (richtig, wahre Aussage)

Die graphische Darstellung der Lösungsmenge ist eine Gerade.

Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen

1. Beispiel:

I     x + 2y = 4

II  3x – 4y = 2

Lösen mit dem Einsetzungsverfahren

I     x + 2y = 4    | – 2y

I´           x  = 4 – 2y

Einsetzen von I´ in  II:

  3 (4 – 2y) – 4y = 2

12 – 6y – 4y = 2    | – 12

                –10y = –10 | : (–10)

                      y = 1

Einsetzen in I:

x + 2٠1 = 4    | – 2

           x = 2

Lösung:  (2;1)

Graphische Darstellung der beiden Gleichungen I und II mit Lösung

2. Beispiel:

I   2x + 3y = 8,5

II  3x – 2y = 3

Lösen mit dem Additionsverfahren

I   2x + 3y = 8,5    | ٠2

II  3x – 2y = 3       | ٠3

_________________

I´  4x + 6y = 17   

II´ 9x – 6y = 9

_________________

I´+II´ 4x + 9x = 17 + 9

                 13x = 26

                     x = 2

Einsetzen in I:

      4 + 3y = 8,5   | – 4

             3y = 4,5  | : 3

               y = 1,5

Lösung: (2;1,5)

Graphische Darstellung der beiden Gleichungen I und II mit Lösung

Quadratische Gleichungen

Graphische Veranschaulichung von Beispiel 1

Die Lösungen  x₁ = –1 und  x₂ = 1,5 der quadratischen Gleichung x²  –  2x  –  3  =  0  (1. Beispiel) entspricht den Nullstellen der quadratischen Funktion mit der Gleichung
y = x²  –  2x  –  3, x є ℝ

Bruchgleichungen

Beispiel:

Wurzelgleichungen

1. Beispiel:

     (*)     | + x, Wurzel auf einer Seite isolieren

                  |  ( )², beide Seiten der Gleichung quadrieren

             x² – 16 = (x + 2)²

             x² – 16 = x² + 4x + 4    | – x² | – 4

           – 16 – 4 = 4x                   |  : 4

          (–20) : 4 = x                     | Seiten vertauschen

                        x = –5

Probe: (*) linke Seite:  

            (*) rechte Seite:  2       

linke Seite ≠ rechte Seite, daraus folgt: x = –5 ist keine Lösung!

Bemerkung: Beim Quadrieren kann eine Lösung entstehen, die für die Wurzelgleichung keine Lösung ist.

2. Beispiel:

     (*)     |  ( )²

    x² – 1 = (2 – x)²

    x² – 1 = 4 – 4x + x²       |  –x²

         – 1 = 4 – 4x              |  + 4x | +1

          4x = 5                     | : 4

Probe: (*) linke Seite:  

           (*) rechte Seite:        

linke Seite = rechte Seite, daraus folgt:     ist Lösung.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

                   4٠1,6^x  =  1,8٠1,2^x  | auf beiden Seiten Zehnerlogarithmus lg( ) = log₁₀() bilden

             lg (4٠1,6^x)  =  lg (1,8٠1,2^x)  |  Logarithmusgesetze anwenden

       lg 4 + x٠lg 1,6  =  lg 1,8 + x٠lg 1,2  | – lg 4  | – x٠lg 1,2

x٠lg 1,6 – x٠lg 1,2   =  lg 1,8 – lg 4 

x٠(lg 1,6 –  lg 1,2)   =  lg 1,8 – lg 4 

                             x  =  (lg 1,8 – lg 4) : (lg 1,6 –  lg 1,2) 

                             x  ≈  – 2,77566 (5 D)