Fachübergreifendes Projekt: Labyrinth im Schulhof

 Mathematischer Teil





1. Berechnung der gesamten Trennfläche und Gehfläche

Das Labyrinth hat die Form eines regulären Achtecks, das sich in 8 gleich große, gleichschenklige Dreiecke unterteilt. Jedes Dreieck hat die Basiswinkel 67,5° und dem der Basis gegenüberliegenden Winkel von 45°.
Berücksichtigt man die Trennflächen im Labyrinth, sind nur die Dreiecke 2, 4, 6 und 8 kongruent. Nach 90°-Drehungen der gekennzeichneten Trennteilflächen sind auch die Dreiecke 3, 5 und 7 kongruent zu Dreieck 2.
Dreieck 1 bereitet etwas größere Schwierigkeiten. Nach geschickter Drehung der gekennzeichneten Trennteilflächen um 90° sieht man, dass die gesamte Trennfläche im Dreieck 1 im Vergleich zu Dreieck 2 nur um den Flächeninhalt der (rot) schraffierten Fläche minus der Summe der Flächeninhalte der beiden (rot) umrandeten Dreiecke kleiner ist (siehe Vorüberlegungen zu den Berechnungen, S. 2).
Im Dreieck 2 wird nun der Inhalt der Trennfläche und der Gehfläche in Abhängigkeit von zwei Parametern h und d berechnet. Für die beiden Parameter wird dann später ein optimaler Wert für die vorgegebene Fläche im Pausenhof gesucht.

Etwas umfangreichere Berechnungen liefern als Flächeninhalt A der gesamten Gehfläche des Labyrinths:

 A = 32 ( - 1)(48h2 - 51hd + 3d2) + hd - d2
 

2. Berechnung der Gesamtlänge des einfach zurückgelegten Weges

 Als gesamte mittlere Weglänge l ergibt sich:

 l  =  16 ( - 1)(96h - 6d) + h - d
 

3. Realisierung des Projekts

Die theoretischen Überlegungen zum Labyrinth beschäftigten uns im Pluskurs Mathematik in jeweils 2 Doppelstunden Dienstag nachmittags.

Ein achteckiges Labyrinth wurde ausgewählt, weil im Schulhof die Form eines Achtecks in einem Teilbereich bereits vorliegt. Eine geteerte Innenfläche ist von Betonsteinen umgeben, wobei die Begrenzungslinien den Umriss eines sich öffnenden Achtecks darstellen.

Die Größe und Positionierung des Labyrinths wurde nun der vorgegebenen Pausenhoffläche angepaßt. Als geeignete Werte für die Parameter h und d wurden 36 cm und 12 cm ausgewählt. Damit ergibt sich eine ausreichende Schrittbreite von 24 cm. Nach einigen Überlegungen entschieden wir uns für die einfachste Art der Bemalung: Die Trennfläche wird mit hellgrauer Dispersionsfarbe gestrichen, während die Gehfläche als Teerfläche frei bleibt. Der Ein- und Ausgang des Labyrinths wird aus geschichtlichen Gründen nach Westen ausgerichtet.

 h = 36 cm ; d = 12 cm

 Flächeninhalt der bemalten Trennfläche: A = 30 m²

 Einfache mittlere Gesamtweglänge beim Durchschreiten des Labyrinths: l = 224 m

 Gesamtradius: r ges = r14 = 5,46 m ; Gesamtdurchmesser: d ges = 10,92 m

 Beim Zeichnen des Plans wurden Markierungen auf den Diagonalen angegeben: r = 39,0 cm

   Am Dienstag Nachmittag, dem 5.7.94, starteten wir mit dem Konstruieren auf dem Schulhof. Dafür benötigten wir ein Maßband, Schnüre, lange Lineale, zwei lange Bretter und Kreide. Zuerst wurde im "Planungsbüro" der Plan aufgelegt und besprochen. Als nächstes wurde der Mittelpunkt des Achtecks festgelegt und ein Kreis mit Radius 5,46 m mit Hilfe einer Schnur gezogen. Nachdem wir das Achteck entsprechend der Vorgaben ausgerichtet hatten, zeichneten wir die Hilfslinien in die Dreiecke 2 und 4 ein. Die neugierig wartenden Schüler von Herrn N. Kraus aus der Klasse 6 a konnten nun endlich mit dem Pinseln, d.h. dem Ausmahlen der Trennflächen mit hellgrauer Farbe, beginnen. An diesem Nachmittag wurden noch die Dreiecke 6, 7 und 8 fertiggestellt.

Der Rest der Arbeiten geschah eine Woche später.

Insgesamt hat uns die theoretische und praktische Beschäftigung mit dem Labyrinth , insbesondere die Konstruktion im großen Maßstab, viel Spaß bereitet.

Pluskurs Mathematik
 

Michael Holzapfel


Zurück
Zurück zur Startseite