Die Euler-Gerade und der Feuerbach-Kreis.


  

Satz über die Euler-Gerade:

In jedem Dreieck liegt der Schnittpunkt H der Höhen, der Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden, der Mittelpunkt des Feuerbachkreises F und der Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten liegen auf einer Geraden. Diese Gerade heißt Euler-Gerade.
Es gilt:  
(Leonhard Euler 1707-1783, ab 1733 Professor für Mathematik an der Universität Sankt Petersburg, 1741-1766 an der Berliner Akademie, dann wieder in Sankt Petersburg).
  

Satz über den Feuerbach-Kreis:

Die Seitenmitten Ma, Mb, Mc und die Höhenfußpunkte Ha, Hb, Hc eines Dreiecks und die Mittelpunkte A’, B’, C’ zwischen den Dreiecksecken und dem Höhenschnittpunkt liegen auf einem Kreis. Dieser Kreis heißt Feuerbach-Kreis oder Neunpunktekreis.
(Karl Wilhelm Feuerbach 1800-1834, Professor der Mathematik am Gymnasium in Erlangen).  

  

  

Konstruktion dynamisch

    

Weitere Eigenschaften:

1.   Die Eulersche Gerade geht auch durch den Mittelpunkt F des Feuerbach-Kreises; der Mittelpunkt dieses Kreises ist gleichzeitig der Mittelpunkt der Strecke [HM].

2.   Die vier Punkte M, S, F und H sind vier harmonische Punkte mit dem Teilverhältnis   .

3.   Im Dreieck ABC besitzt der Feuerbach-Kreis einen halb so großen Radius wie der Umkreis des Dreiecks.

4.   Die zentrische Streckung (H; 0,5) mit Zentrum H und Streckungsfaktor 0,5 bildet das Dreieck ABC auf das Dreieck A’B’C’ und den Umkreis des Dreiecks ABC auf den Feuerbach-Kreis ab.

5.   Die zentrische Streckung (S; -0,5) mit Zentrum S und Streckungsfaktor  -0,5 bildet das Dreieck ABC auf das Dreieck MaMbMc und den Umkreis des Dreiecks ABC auf den Feuerbach-Kreis ab.

   
 

6.   Die beiden zentrischen Streckungen (S; -0,5) und (H; 0,5) hängen folgendermaßen zusammen:
(S; -0,5) o (F; -1)  =  (H; 0,5), wobei  (F; -1) die Punktspiegelung an F ist.
Z.B. wird  C  mit der zentrischen Streckung (S; -0,5) auf  Mc  abgebildet, während die zentrischen Streckung (H; 0,5)  C auf  C' abbildet. Die Punktspiegelung an F führt dann Mc in C' über.

Konstruktion dynamisch

7.   Beim gleichseitigen Dreieck wird der Neunpunktekreis zum Inkreis des Dreiecks.

8.   Der Neunpunktekreis wird vom Inkreis und von den drei Ankreisen des Dreiecks ABC berührt.

 

  

Folgendes Bild entstand nach Vorlage eines Bildes in der Zeitschrift PM Oktober 2007, S. 49. 
Der Umkreis des Dreiecks ABC wurde in 8 gleich lange Bogenstücke unterteilt. Durch blaue und gelbgrüne  Flächenfärbung werden die beiden zentrischen Streckungen (S; -0,5) und (H; 0,5) ästhetisch ansprechend dargestellt. 

 

Sämtliche Konstruktionen wurden mit Hilfe von geogebra durchgeführt.

Quellen für Beweise:

http://lsgm.uni-leipzig.de/KoSemNet/pdf/graebe-99-1.pdf

http://www.zum.de/Faecher/Materialien/rubin/texte/DreiGeom.pdf
   


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