Kegelschnitte


Johannes Kepler (1572-1630) hat als erster erkannt, dass sich die Planeten unseres Sonnensystems auf Ellipsenbahnen um die Sonne bewegen (1. Gesetz von Kepler). Satelliten bewegen sich auch auf Ellipsenbahnen, können sich aber auch auf Parabel- oder Hyperbelbahnen bewegen.

Ellipse, Parabel und Hyperbel gehören zu den Kegelschnitten.

Kegelschnitte entstehen als Schnittfigur zwischen einem Kegel und einer Ebene. Bei einer Hyperbel ist es ein Doppelkegel.  

  

Für w > j ist die Schnittkurve eine Ellipse, für w = 90° ein Kreis.

Für w = j ist die Schnittkurve eine Parabel und

für w < j ist die Schnittkurve der Ebene mit einem Doppelkegel eine Hyperbel, die aus zwei Teilkurven besteht.

Mit Hilfe der Scheitelgleichung der Kegelschnitte kann man die verschiedenen Kurvenformen gegenüberstellen:

p = Parameter, entspricht der halben Sehnenlänge, die durch den Brennpunkt geht und senkrecht auf der x-Achse steht.

e =  numerische Exzentrizität, entscheidet über die Art des Kegelschnitts.

  

  

Die Kegelschnitte lassen sich auch in Polarkoordinaten beschreiben, wobei der Pol im Brennpunkt liegt:

                                

       

 

kartesische Koordinaten

Parameterdarstellung

Ellipse 

x = a cos(j), y = b cos(j)

Parabel 

y2 =  2px

Hyperbel

x = a cosh(j), y = b cosh(j)

  

Animation von

Ellipse                 Parabel               Hyperbel

 

Erstellt von M. Holzapfel 7/09 mit GeoGebra


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