Zykloide, Epizykloide und Hypozykloide


Zykloiden 

Rollt man einen Kreis auf einer Geraden ab, so beschreibt ein fester Punkt der Kreislinie eine (gewöhnliche) Zykloide.

Die Parameterdarstellung der Zykloide lautet allgemein:

x = r t - a sin(t),   y = r -a cos(t)

r =  Radius des rollenden Kreises

t = Winkel (Parameter), der für eine Periode die Zahlen von 0 bis 2 p durchläuft.

a = r :    gewöhnliche Zykloide

a > r :    verlängerte Zykloide

a < r :    verkürzte Zykloide

 

Zykloide

Zykloide animiert

 

Epizykloiden

Rollt man einen Kreis auf einem zweiten Kreis außen ab, so beschreibt ein fester Punkt der Kreislinie eine (gewöhnliche) Epizykloide.

Die Parameterdarstellung der Epizykloide lautet allgemein:

x(t) = R cos(t) - a cos(R/r t),   y(t) = R sin(t) - a sin(R/r t)

r =  Radius des rollenden Kreises

t = Winkel (Parameter), der für eine Periode die Zahlen von 0 bis 2 p durchläuft.

a = r :    gewöhnliche Epizykloide

a > r :    verlängerte Epizykloide

a < r :    verkürzte Epizykloide

Epizykloide 

Epizykloide animiert

                 

Hypozykloiden

Rollt man einen Kreis auf einem zweiten Kreis innen ab, so beschreibt ein fester Punkt der Kreislinie eine (gewöhnliche) Hypozykloide.

Die Parameterdarstellung der Hypozykloide lautet allgemein:

x(t) = R cos(t) + a cos(R/r t),  y(t) = R sin(t) - a sin(R/r t) 

r =  Radius des rollenden Kreises

t = Winkel (Parameter), der für eine Periode die Zahlen von 0 bis 2 p durchläuft.

a = r :    gewöhnliche Hypozykloide

a > r :    verlängerte Hypozykloide

a < r :    verkürzte Hypozykloide  

Hyperzykloide

 

Hypozykloide animiert

 

Eine Auswahl von Hypozykloiden:



R = 3,  r = 1, a = 0.4



R = 3,  r = 1, a = 0.4


R = 3.5,  r = 0.5, a = 0.4



R = 2,  r = 1, a = 3



R = 3,  r = 1, a = 3



R = 2.5,  r = 0.5, a = 2



R = 5.1,  r = 1.9, a = 2



R = 4.1,  r = 0.6, a = 1.8



R = 5.1,  r = 3.8, a = 2

 

Erstellt  von M. Holzapfel  mit GeoGebra


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