Die Violine oder Geige, der goldene Schnitt,

Konstruktion der Form einer Violine

und das Apfelmännchen

Beim goldenen Schnitt gilt:

Der längere Streckenabschnitt ist ungefähr 61,8% der gesamten Streckenlänge oder
der kürzere Streckenabschnitt ist ungefähr 61,8% des längeren Streckenabschnitts.

Oberseite Violine (Geigenbauer Johann Goldfuß, Baujahr 1969), Fotos M. Holzapfel:  

 d1 : d2  ≈  0,614,  e1 : e2  ≈  0,628

  Unterseite Violine:  

f1 : f2  ≈  0,614,  g1 : g2  ≈  0,614,  d(p;q) : d(B;D)  ≈  0,607

g1 = d(A;C),  g2 = d(B;D)

d(p;q) = Abstand der Geraden p von der Geraden q

Vergleich mit der näherungsweisen Konstruktion weiter unten.

  Die Proportionen der Violine haben sich im Verlauf der Geschichte mehrfach verändert. Der goldene Schnitt hat sich als günstiges Konstruktionsprinzip erwiesen. Dies hat nicht nur ästhetische sondern wahrscheinlich auch physikalische Gründe: Durch ein irrationales Verhältnis (in Näherung: Verhältnis zweier größerer benachbarter Zahlen in der Fibonacci-Folge) bei den Proportionen der Violine werden besonders starke Resonanzeffekte des Geigenkörpers bei einzelnen Tönen reduziert. Mit Hilfe anderer konstruktiver Methoden beim Geigenbau ergibt sich dann ein ausgewogener Klang der Geige im gesamten Klangbereich.

Näherungsweise Konstruktion der Form einer Violine

Mit folgenden Annahmen wurde die Konstruktion mit Hilfe von Geogebra durchgeführt:

A₁A₂A₃A₄ ist ein Quadrat,
U ist der Mittelpunkt der Strecke A₁A₂, V ist Mittelpunkt der Strecke A₃A₄,
M ist der Mittelpunkt der Strecke UV.
P₁P₂P₃P₄P₅ und Q₁Q₂Q₃Q₄Q₅ sind jeweils reguläre Fünfecke.

,   

,   ,   

,   

σ ≈ 0,618  ist goldene Schnittzahl.

Die weiteren Konstruktionen sind achsensymmetrisch zur Achse UV.

Die einzelnen Bogen mit Bogenmittelpunkte sind mit gleicher Farbe gekennzeichnet.

Konstruktion der Form einer Violine mit Hilfe von Geogebra

 
Konstruktion durch M. Holzapfel 6/2018

Überlagerung der Konstruktion mit der Violine "Antonius 1711" von Stradivari

Als Vorlage für die Oberseite einer Violine von Antonio Stradivari wurde das Bild „Antonius (1711)“ von Wikipedia verwendet:

https://de.wikipedia.org/wiki/Antonio_Stradivari

                                  Überlagerung der Konstruktion mit Violinen von Amati
 

Links: Violine von ca. 1570 von Andrea Amati, der die Entwicklung des Geigenbaus maßgeblich beeinflusst hat.

Quelle für die Vorlage der Violine:

http://culture.teldap.tw/culture/index.php?option=com_content&view=article&id=303

Rechts: Violine von 1662 von Nicolo Amati, dem Enkel von Andrea Amati.

Quelle für die Vorlage der Violine:

https://www.ram.ac.uk/museum/item/23220

Vergleich der Messwerte in obiger Goldfuß-Violine mit der Konstruktion

d(X;Y) : d(U;V)  =  σ

d(K;L) : d(U;V)  =  σ

d(V;D) : d(V;U)  =  σ

σ ≈ 0,618

Hinweis:

https://www.schiele-geigenbau.de/docs/Schiele_Artikel_GoldenerSchnitt.pdf

Das Apfelmännchen und der goldene Schnitt?

  Die Mandelbrotmenge wird im deutschen Sprachbereich wegen seiner Form oft als Apfelmännchen bezeichnet. Mathematiker sehen im Apfelmännchen eine Figur, in der sich mathematische Zusammenhänge veranschaulichen lassen und die ein Sinnbild für die Chaostheorie und für die Geometrie der Fraktale darstellt..

  Im Apfelmännchen können die Knospen (Ausbuchtungen) den Fibonacci-Zahlen zugeordnet werden. 

d1 : d2  ≈  0,63

Goldener Schnitt?  Nicht exakt! Aber in Näherung!

Apfelmännchen und Violine