Goldener Schnitt – Eigenschaften


Beim goldenen Schnitt bzw. bei der stetigen Teilung handelt es sich um ein besonderes Teilungsverhältnis, wobei aus geschichtlichen Gründen für die längere Teilstrecke die Bezeichnung Major (M) und für die kürzere Teilstrecke die Bezeichnung minor (m) bzw. Minor üblich ist.

Mit diesen Bezeichnungen lässt sich die Bedingung für den goldenen Schnitt wie folgt angeben:

               m  :  M  =  M  :  (M+m)      

Der kürze verhält sich zum längeren Streckenabschnitt wie der längere Streckenabschnitt zur gesamten Streckenlänge.

 

              

Lösung für die linke Gleichung des goldenen Schnitts:

Lösung für die rechte Gleichung des goldenen Schnitts:

Lösung mit Hilfe der Lösungsvariablen x  für die Streckenlänge von [AT]  bei gegebener Streckenlänge a von [AB]:

Bemerkung:

 

Folgerung:

Beim goldenen Schnitt hat der längere Streckenabschnitt etwa 61,8% der gesamten Streckenlänge.

  

Eigenschaften der goldenen Schnittzahlen s  und  t
  

  

             

Die höheren Potenzen von t haben die Struktur der Fibonacci-Folge:

1, 1, 2, 3, 5, 8 ,13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

Die Formel für die Fibonacci-Folge lautet:

Fn+2  = Fn+1  +  Fn   mit F1 = 1 und F2 = 1

Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen:

 

Formel von Jacques Binet  (1843):

Mit Hilfe der Formel von Jacques Binet  lässt sich zeigen, dass die Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen gegen s  gehen:

   


Zurück
Zurück zur Startseite