Komplexere gotische Fensterform


Drittes Seitenfenster oben rechts vom Südportal des Regensburger Doms als Beispiel für eine komplexere gotische Fensterform 

 

 

Näherungskonstruktion

  

Gegeben:  Kämpferlinie [AB], drei gleichseitige Dreiecke AES2, QRS und FBS2’, Kreise und Kreisbögen sollen sich berühren,

Gesucht:    (Lage der Kämpferpunkte K und K’)

Lösungsansätze mit Hilfe des Satzes von Pythagoras:

(1) 

(2) 

(3) 

(4) 

(5) 

Dies ist ein überbestimmtes Gleichungssystem.

Bereits 4 Gleichungen, z.B. (1), (3), (4) und (5), genügen, um die Variablen k, r, x und z zu berechnen.

  1. Auflösen von (3) nach k:  (3’)

  2. Einsetzen in (1), (4) und (5)

  3. Lösen von 3 Gleichungen mit den 3 Lösungsvariablen r, x und z.

Als Näherungslösungen ergeben sich mit Hilfe von Derive 5.0 für a = 4 folgende Werte:
y  1,732,  ,  r  1,728,  k  1,527,  x  3,152,  z  3,051.

In Gleichung (2) eingesetzt ergibt die linke Seite den Wert 13,935, die rechte Seite den Wert 13,899. Daraus folgt, dass die Konstruktion nicht exakt sondern nur in guter Näherung möglich ist. Es ist zu vermuten, dass beim Maßwerk dieses Fensters von r = y ausgegangen wurde.

Damit lässt sich M2 näherungsweise konstruieren durch
1) Kreis um R mit Radius a + y,
2) Kreis um M1 mit Radius ½ a + y.

K lässt sich mit Hilfe von (3’) konstruieren oder in Näherung als Schnittpunkt von M2’Q und AB.

Maßwerk des oberen Fensterbereichs ohne Pässe

    

Die drei inneren kongruenten Spitzbögen basieren auf drei gleichseitigen Dreiecken AES2, QRS1 und FBS2’ und werden folgendermaßen konstruiert:

      

In den Kreisen mit Mittelpunkt M1, M2 und M2’ befinden sich jeweils Vierpässe der Art Vp2, in den Kreisen mit Mittelpunkt M3, M3’ und M4 sind Dreipässe der Art Dp1. Die kleinen Spitzbögen sind jeweils Kleeblattbögen Kb2.

Zur Kontrolle:  Überdeckung von Bild und Konstruktion

    

 

Die Konstruktionen wurden mit dem Programm DynaGeo (Euklid) V 1.5a durchgeführt.


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