Kreise im Dreieck - Grenzwert


Einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge 1 werden Kreise folgendermaßen einbeschrieben:

Wie groß ist die Summe der Flächeninhalte aller einbeschriebenen Kreise?

Lösungen:

1. Weg (anschaulich geometrisch) :

Die einzelnen Kreise entstehen jeweils durch zentrische Streckung mit dem Zentrum C und dem Streckungsfaktor 1/3 aus dem unteren Kreis mit dem Radius  (Höhe im gleichseitigen Dreieck)

Zur Begründung: Im gleichseitigen Dreieck ist der Höhenschnittpunkt gleich dem Schnittpunkt der Seitenhalbierenden gleich dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden (Inkreismittelpunkt); der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden teilt diese im Verhältnis 2 : 1; Berechnung von h mit Satz des Pythagoras.

Die Radien der Kreise sind  dann   , usw..

Die Summe aller Kreisflächeninhalte ergibt dann folgende unendliche Reihe:

  

Mit Ausklammern:

oder

   

Im Trapez  ABDE gilt:

Verhältnis von Kreisflächeninhalt zu Trapezflächeninhalt:

Die die Kreise umschließenden Trapezflächen summieren sich zur gesamten Dreieckfläche auf: 

Da die Flächenverhältnisse von Kreis und zugehörigem Trapez gleich groß sind (Kreisflächeninhalt und Trapezflächeninhalt sind direkt proportional), muss dies auch für das Verhältnis  Gesamtflächeninhalt aller Kreise zu Gesamtflächeninhalt aller Trapeze (= Dreiecksflächeninhalt) gelten:

Daraus folgt:

   

und schließlich

        (1)

 

2. Weg (geometrische Reihe)

Geometrische Reihe:

Für  |q| < 1 gilt:      und damit   

Die Summe (1) stellt eine geometrische Reihe dar mit Anfangsglied    :   

Mathematisch wird Formel (1) auch folgendermaßen dargestellt:

      


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