Quadrate im Quadrat - Grenzwert


Einem Quadrat der Seitenlänge 1 (Einheitsquadrat) werden Quadrate folgendermaßen einbeschrieben:

   

Wie groß ist die Summe der Seitenlängen und der Flächeninhalte aller einbeschriebenen Quadrate?

Lösungen:

1. Weg (anschaulich geometrisch):

Die einzelnen Quadrate entstehen jeweils durch zentrische Streckung mit dem Zentrum C und dem Streckungsfaktor ½ aus dem linken unteren Quadrat der Seitenlänge ½ .

Die Seitenlängen der Quadrate sind  dann  .

Wenn man nun alle Quadrate auf die Grundseite [AB] des vorgegebenen Einheitsquadrats projiziert, hat man eine zentrische Streckung mit dem Zentrum B und dem Streckungsfaktor ½ .

Die Summe aller entstehenden Quadratseiten muss die Länge der Seite [AB] und damit den Wert 1 ergeben:

       (1)

Die Summe der Quadratflächen innerhalb des Vierecks AMaCMd wird durch folgende unendliche Reihe dargestellt:

Andererseits gilt innerhalb des Dreiecks ABD:

Halbe Einheitsquadratfläche – Summe der Dreiecksflächen liefert die Summe aller projizierten Quadratflächen innerhalb des Einheitsquadrats.

Nachdem die Dreiecksflächen jeweils halbe Quadratflächen sind, ergibt sich folgender Zusammenhang:

Daraus folgt:

Schließlich folgt:

       (2)

Die Summe der Quadratflächen aller einbeschriebenen Quadrate kann elementargeometrisch auch folgendermaßen gefolgert werden:

Die jeweils rechts und oben anliegenden Quadrate bilden mit dem mittleren Quadrat jeweils drei gleich große Quadrate in L-Form. Die Flächen aller L-Formen zusammen ergeben die Fläche des Einheitsquadrats. 
Daraus folgt ebenfalls Formel (2).
   

2. Weg (mit geometrischer Reihe):

Geometrische Reihe:

Für  |q| < 1 gilt:     und damit 

Die Summen (1) und (2) stellen jeweils geometrische Reihen dar mit:

(1)  Anfangsglied   :     

(2)  Anfangsglied  :      

Die erhaltenen Formeln werden auch folgendermaßen dargestellt:

Bemerkung:

Zur Vereinfachung wurde statt Flächeninhalt  das Wort Fläche verwendet.

      


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