Julia- und Mandelbrot-Mengen

Julia-Mengen

Der französische Mathematiker Gaston Maurice Julia führte 1918 zusammen mit Pierre Fatou die nach ihm benannte Julia-Menge ein. Sie spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der dynamischen Systeme.

Die Rekursion  zn+1 = f(zn + c) mit n ϵ ℕ0 und  komplexen Zahlen z mit Startwert z0 und der Konstante c kann beschränkt oder unbeschränkt sein und bildet damit die Gefangenenmenge oder die Fluchtmenge. Die Julia-Menge zur gegebenen komplexen Konstante c ist der Rand der Gefangenenmenge.

Das Komplement zur Julia-Menge heißt Fatou-Menge.

Die Julia-Menge lässt sich anschaulich in der komplexen Zahlenebene darstellen.

Die komplexe Zahl z = x + y٠i  wird als Punkt P(x | y) im Koordinatensystem mit der reellen Achse als x-Achse und der imaginären Achse als y-Achse dargestellt.

Dabei werden die komplexen Zahlen, deren Rekursion beschränkt ist, als Punkte schwarz dargestellt. Die komplexen Zahlen, deren Rekursion gleich schnell über eine Schranke führt, werden als Punkte mit gleicher Farbe dargestellt.

Zusammenhängende Julia-Mengen (jeweils Rand des schwarzen Bereichs):

 

Nicht zusammenhängende Julia-Mengen:

 

  

Bei Verzicht auf Farbgebung kommt die Julia-Menge besser zur Geltung.

Eigenschaften der Julia-Menge:

Bilder von Julia-Mengen sind punktsymmetrisch zum Ursprung.

Bilder von Julia-Mengen mit konjugiert komplexen c, d.h. c = a + bi und c = a – bi, sind achsensymmetrisch.

Es gibt einen engen Zusammenhang mit der Mandelbrot-Menge.

Sie ist ein fraktalähnliches Gebilde.

 

Die Mandelbrot-Menge

Der französische Mathematiker Benoît B. Mandelbrot begann 1979 mit dem Studium der Julia-Mengen. Dabei entdeckte er die nach ihm benannte Mandelbrot-Menge.

Die Mandelbrot-Menge ist die Menge der komplexen Zahlen c, für welche die durch die Iteration
zn+1 = zn2 + c, n ϵ ℕ0  mit komplexen Zahlen z und Anfangswert z0 = 0 definierte Folge beschränkt ist.

Beispiele für Iterationen:

Startwert der Rekursion: c = 0,1 – 0,4 i

 0   0.1000  -0.4000

 1  -0.0500  -0.4800

 2  -0.1279  -0.3520

 3  -0.0075  -0.3100

. . .

28  -0.0373  -0.3723

29  -0.0372  -0.3723

30  -0.0372  -0.3723

Die Iterationen führen zum Grenzwert  – 0,0372  – 0,3723 i

Startwert der Rekursion: c = 0,078 – 0,791 i

 0    0.0780     -0.7910

 1   -0.5416     -0.9144

 2   -0.4648      0.1995

 3    0.2542     -0.9764

 4   -0.8108     -1.2875

 5   -0.9223      1.2967

 6   -0.7528     -3.1830

 7   -9.4867      4.0011

 8   74.0656    -76.7060

 9 -398.0106 -11363.3446

Die Iterationen führen über eine vorgegebene Grenze

 Startwert der Rekursion: c = – 0,117 –  0,779 i

 0  -0.1170  -0.7790

 1  -0.7102  -0.5967

 2   0.0312   0.0685

 3  -0.1207  -0.7747

. . .

26   0.0273   0.0574

27  -0.1196  -0.7759

28  -0.7047  -0.5935

29   0.0273   0.0574     

30  -0.1196  -0.7759

31  -0.7047  -0.5935

Die Iterationen bleiben beschränkt mit dreifacher Periode.

Geometrisch lässt sich die Mandelbrot-Menge (auch wegen der Form Apfelmännchen genannt) als Punkte in der komplexen Zahlenebene anschaulich darstellen. Die Mandelbrot-Menge wird dabei meist mit schwarzer Farbe dargestellt, während gleichfarbige Punkte in ihrer Umgebung bedeuten, dass die Rekursion gleich schnell über eine vorgegebene Schranke führt.  

Zoom in die Mandelbrot-Menge mit dem  Zentrum - 0,7454 + 0,113 i

  

  

  

Auf der Suche nach Apfelmännchen:

  

  

  

  

Eigenschaften der Mandelbrot-Menge:

Die Mandelbrotmenge ist achsensymmetrisch zur x-Achse (reellen Achse)

Die Mandelbrot-Menge ist abgeschlossen und liegt innerhalb eines Kreises mit Radius 2. Sie ist auch zusammenhängend, d.h. sie bildet keine Inseln.

An den fraktalähnlichen Strukturen am Rand der Mandelbrot-Menge bilden sich in Verkleinerung immer wieder Mandelbrot-Mengen

Der Rand der Mandelbrot-Menge ist unendlich lang. Sie hat aber einen bestimmten Flächeninhalt, ungefähr 1,507 F.E.

Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen Mandelbrot-Menge und Feigenbaum-Diagramm und damit auch mit dem deterministischen Chaos. Links vom "Kopf" des Apfelmännchens entsteht der chaotische Bereich. Es gibt bei den Rekursionen auch mehrfache Perioden wie beim Feigenbaum-Diagramm.

Die Mandelbrotmenge ist ein fraktalähnliches Gebilde.

 

 

Zusammenhang zwischen Julia- und Mandelbrot-Menge:

Julia-Mengen für die gekennzeichneten Punkte c der schwarz dargestellten Mandelbrot-Menge mit farbiger Umgebung:

   

Wird die Konstante c der Julia-Menge als komplexe Zahl aus der Mandelbrot-Menge gewählt, so ist die Julia-Menge zusammenhängend, andernfalls nicht zusammenhängend.

Beide Mengen sind fraktalähnliche Gebilde und in Näherung selbstähnlich.