Vollkommene (perfekte) Zahlen


Definition:

Vollkommene (perfekte) Zahlen sind gleich der Summe ihrer echten Teiler. 
Z.B. 6 = 1 + 2 + 3,  28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 , usw.
  
Vollkommene Zahlen haben die Form  2(p-1) (2p 1), wobei 2p 1 eine sog. Mersennesche Zahl ist mit einer speziellen Primzahl p als Exponenten.
  

Mersennesche Zahlen  2p 1 sind für folgende Primzahl-Exponenten selbst prim:

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, ...

(Marin Mersenne, französischer Mönch, 1588-1648)

 

 

Satz (Euklid):

Ist für eine natürliche Zahl n die Zahl p = 1 + 2 + 4 +...+ 2n-1 = 2n 1 eine Primzahl, dann ist p  2n-1 eine vollkommene Zahl.
  

Die ersten sieben vollkommenen Zahlen:

6 = 1 + 2 + 3 = 2 (2 1)

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 22 (23 1)

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 24 (25 1)

8 128 = 1 + 2 + 4 + ... + 64 + 127 + ... + 4064 = 26 (27 1)

33 550 336 = 1 + ... + 4096 + 8191 + ... + 16775168 = 212 (213 1)

8 589 869 056 = 1 + ... + 65536 + 131071 + ... + 4294934528 = 216 (217 1)

137 438 691 328 = 1 + ... + 262144 + 524287 + ... + 68719345664 = 218 (219 1)

...

Den Pythagoräern (Pythagoreern) waren die ersten vier vollkommenen Zahlen bekannt:
6,  28,  496,  8128
  

Vollkommene Zahlen sind Dreieckszahlen und enden auf die Ziffer 6 oder 8.

6 = 1 + 2 + 3 = 1 + 2 + (22 1)

28 = 1 + 2 + 3 + ... + 7 = 1 + 2 + 3 + ... + (23 1)

496 = 1 + 2 + 3 + ... + 31 = 1 + 2 + 3 + ... + (25 1)

8 128 = 1 + 2 + 3 + ... + 127 = 1 + 2 + 3 + ... + (27 1)

33 550 336 = 1 + 2 + 3 + ... + 8191 = 1 + 2 + 3 + ... + (213 1)

8 589 869 056 = 1 + 2 + 3 + ... + 131071 = 1 + 2 + 3 + ... + (217 1)

137 438 691 328 = 1 + 2 + 3 + ... + 524287 = 1 + 2 + 3 + ... + (219 1)

Allgemeine Lösung:  p  :  2(p - 1) (2p 1) = 1 + 2 + 3 + ... + (2 1)

                               p Primzahl zu Mersennescher Zahl
  

Vollkommene Zahlen, außer 6, sind die Summe der ungeraden Zahlen in der dritten Potenz:

(6, mit p=2, passt nicht in das Muster!)

28 = 13 + 33 = 13 + (2(3+1)/2   1)3

496 = 13 + 33 + 53 + 73 = 13 + 33 + 53 + (2(5+1)/2   1)3

8 128 = 13 + 33 + ... + 153 = 13 + 33 + ... + (2(7+1)/2   1)3

33 550 336 = 13 + 33 + ... + 1273 = 13 + 33 + ... + (2(13+1)/2   1)3

8 589 869 056 = 13 + 33 + ... + 5113 = 13 + 33 + ... + (2(17+1)/2   1)3

137 438 691 328 = 13 + 33 + ... + 10233 = 13 + 33 + ... + (2(19+1)/2 1)3

...

Vermutung:   2(p-1) (2p 1) = 13 + 33 + ... + (2(p+1)/2 1)3  ist vollkommene Zahl, 

                       p Primzahl zu Mersennescher Zahl

Bisher sind keine ungeraden vollkommenen Zahlen bekannt. Computer haben bisher gezeigt, dass es keine ungeraden vollkommenen Zahlen kleiner als 10300 gibt.
 

 


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