Vollkommene (perfekte) Zahlen

Vollkommene (perfekte) Zahlen sind gleich der Summe ihrer echten Teiler. 

Z.B.  6 = 1 + 2 + 3,  28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 , usw. 
Vollkommene Zahlen haben die Form  2^(p–1) (2^p – 1), wobei 2^p –1 eine sog. Mersennesche Zahl ist mit einer speziellen Primzahl p als Exponenten.

Mersennesche Zahlen  2^p – 1 sind für folgende Primzahl-Exponenten selbst prim:

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, ...

(Marin Mersenne, französischer Mönch, 1588-1648)

Satz (Euklid):

Ist für eine natürliche Zahl n die Zahl p = 1 + 2 + 4 +...+ 2^n–1 = 2ⁿ – 1 eine Primzahl, dann ist p  2^n–1 eine vollkommene Zahl.

Die ersten sieben vollkommenen Zahlen:

6 = 1 + 2 + 3 = 2 (2²  – 1)

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 2² (2³ – 1)

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 2⁴ (2⁵ – 1)

8 128 = 1 + 2 + 4 + ... + 64 + 127 + ... + 4064 = 2⁶ (2⁷ – 1)

33 550 336 = 1 + ... + 4096 + 8191 + ... + 16775168 = 2¹² (2¹³ – 1)

8 589 869 056 = 1 + ... + 65536 + 131071 + ... + 4294934528 = 2¹⁶ (2¹⁷ – 1)

137 438 691 328 = 1 + ... + 262144 + 524287 + ... + 68719345664 = 2¹⁸ (2¹⁹ – 1)

...

Den Pythagoräern (Pythagoreern) waren die ersten vier vollkommenen Zahlen bekannt:  6,  28,  496,  8128

Vollkommene Zahlen sind Dreieckszahlen und enden auf die Ziffer 6 oder 8.

6 = 1 + 2 + 3 = 1 + 2 + (2² – 1)

28 = 1 + 2 + 3 + ... + 7 = 1 + 2 + 3 + ... + (2³ – 1)

496 = 1 + 2 + 3 + ... + 31 = 1 + 2 + 3 + ... + (2⁵ – 1)

8 128 = 1 + 2 + 3 + ... + 127 = 1 + 2 + 3 + ... + (2⁷ – 1)

33 550 336 = 1 + 2 + 3 + ... + 8191 = 1 + 2 + 3 + ... + (2¹³ – 1)

8 589 869 056 = 1 + 2 + 3 + ... + 131071 = 1 + 2 + 3 + ... + (2¹⁷ – 1)

137 438 691 328 = 1 + 2 + 3 + ... + 524287 = 1 + 2 + 3 + ... + (2¹⁹ – 1)

Allgemeine Lösung:  p ϵ ℕ  :  2^(p–1) (2^p – 1) = 1 + 2 + 3 + ... + (2ⁿ  – 1)

                                   p ist Primzahl zu Mersennescher Zahl
  

Vollkommene Zahlen, außer 6, sind die Summe der ungeraden Zahlen in der dritten Potenz:

(6, mit p=2, passt nicht in das Muster!)

28 = 1³ + 3³ = 1³ + (2^(3+1)/2 –  1)³

496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ = 1³ + 3³ + 5³ + (2^(5+1)/2 –  1)³

8 128 = 1³ + 3³ + ... + 15³ = 1³ + 3³ + ... + (2^(7+1)/2 –  1)³

33 550 336 = 1³ + 3³ + ... + 127³ = 1³ + 3³ + ... + (2^(13+1)/2 –  1)³

8 589 869 056 = 1³ + 3³ + ... + 511³ = 1³ + 3³ + ... + (2^(17+1)/2 –  1)³

137 438 691 328 = 1³ + 3³ + ... + 1023³ = 1³ + 3³ + ... + (2^(19+1)/2 – 1)³

...

Vermutung:   2^(p-1) (2^p – 1) = 1³ + 3³ + ... + (2^(p+1)/2 – 1)³  ist vollkommene Zahl, 

                         p ist Primzahl zu Mersennescher Zahl

Bisher sind keine ungeraden vollkommenen Zahlen bekannt. Computer haben bisher gezeigt, dass es keine ungeraden vollkommenen Zahlen kleiner als 10³⁰⁰ gibt.
 

Praktische Zahlen

Eine praktische Zahl ist eine natürliche Zahl n ϵ ℕ mit der Eigenschaft, dass jede kleinere Zahl als Summe von paarweise verschiedenen echten Teilern der Zahl n dargestellt werden kann.

Beispiele:

6 hat die echten Teiler 1, 2, 3:
1 = 1, 2 = 2, 3 = 3, 4 = 3 + 1, 5 = 3 + 2

8 hat die echten Teiler 1, 2, 4:
1 = 1, 2 = 2, 3 = 2+1, 4 = 4, 5 = 4+1, 6 = 4+2, 7 = 4+2+1

12 hat die echten Teiler 1, 2, 3, 4, 6:
1 = 1, 2 = 2, 3 = 3, 4 = 4, 5 = 4+1, 6 = 6, 7 = 6+1, 8 = 6+2, 9 = 6+3, 10 = 6+4, 11 = 6+4+1

…

Menge der praktischen Zahlen:

{1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, …}

Teilmengen:

Jede Zweierpotenz ist eine praktische Zahl:
{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …}

Alle geraden vollkommenen Zahlen sind praktische Zahlen:
{6, 28, 496, 8128, 33550336, …}

Alle Zahlen der Form  n = 2^k-1 (2^k – 1)  mit k ϵ ℕ und k > 1 sind praktische Zahlen:
{6, 28, 120, 496, 2016, 8128, 32640, 130816, …, 33550336, …}

Eigenschaften:

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier praktischer Zahlen ist wieder eine praktische Zahl,
z.B. kgV(24, 30) = 6

Sei n ϵ ℕ das Produkt von Potenzen der ersten k Primzahlen, dann ist n eine praktische Zahl.
n = p₁^c1 ٠ p₂^c2 ٠… ٠ p_k^ck  mit p₁ < p₂ < … < p_k  mit c1, c2, …, ck  > 0

Jede natürliche Zahl n ϵ ℕ kann dargestellt werden als Summe zweier praktischen Zahlen.