Rechtecke und DIN A4

Allgemeines Rechteck

   Eigenschaften des Rechtecks:

1.    Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel.

2.    Die Innenwinkel sind jeweils 90°.

3.    Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren sich gegenseitig.

4.    Das Rechteck hat zwei Symmetrieachsen.

5.    Das Rechteck hat einen Umkreis und ist deshalb ein Sehnenviereck.
Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Diagonalen.

Das Rechteck ist ein spezielles Parallelogramm mit Innenwinkel 90°.

Flächeninhalt                  A = a٠b

Umfang                          U = 2٠(a + b)

Länge der Diagonalen         (Pythagoras)

Goldenes Rechteck

Rechtecke mit der Eigenschaft  a : (a + b) = b : a  mit den Seitenlängen a+b und a (Rechteck ABCD) bzw. a und b (Rechteck BCFE) nennt man goldene Rechtecke.

Als Seitenverhältnisse ergeben sich die goldenen Schnittzahlen

  Konstruktion des goldenen Rechtecks

Goldenes Rechteck im Quadrat

Begründung:

Darauf aufbauend ein Bild der Mathematikerin und Künstlerin Irene Schramm-Biermann (geb. 1950 in Detmold)  

Perfektes Rechteck

Ein Rechteck heißt perfekt, wenn man es mit unterschiedlich großen Quadraten lückenlos und überschneidungsfrei überdecken kann.

Perfektes Rechteck 33⸱32 von Zbigniew Moroń (1925)

DIN A4, Norm DIN 476 und ISO 216

Die wohl am weitesten verbreitete Norm ist die ISO 216, ehemals DIN 476, mit dem bekanntesten Inhalt DIN A4. Sie regelt inzwischen weltweit die Größe von Papierformaten.

DIN = Deutsches Institut für Normung  (früher: Deutsche Industrienorm)

ISO = International Standard Organization

Bei der Norm DIN 476 gilt mit a = |AB|, b = |BC|:

|BQ| = |QC|  d.h. |BQ| = ½ b

a : b = b/2 : a

a² = b²/2

a = b / √2  oder b = a √2

DIN A0: Viereck ABCD
mit Flächeninhalt 1 m²,

a = 841 mm, b = 1189 mm
0,841 m ٠ 1,189 m = 0.999949 m² ≈ 1,000 m²

Bei jedem DIN A0 – A10 Blatt gilt:

Breite  :  Länge  = 1 : √2  ≈ 1 : 1,414

DIN A1: 594 mm ٠ 841 mm

DIN A2: 420 mm ٠ 594 mm

DIN A3: 297 mm ٠ 420 mm

DIN A4: 210 mm ٠ 297 mm

DIN A5: 148 mm ٠ 210 mm

DIN A6: 105 mm ٠ 148 mm

DIN A7:   74 mm ٠ 105 mm

DIN A8:   52 mm ٠  74 mm

DIN A9:   37 mm ٠  52 mm

DIN A10: 26 mm ٠  37 mm

Die Blattformate in der DIN-Reihe A ergeben sich jeweils durch Halbieren des vorhergehenden Formats. Der Flächeninhalt des nachfolgenden Rechtecks ist dann halb so groß. Dabei ist das Ausgangsblatt dem nächstkleineren Blatt ähnlich.

Die Geschichte von DIN A4

Im Laufe der Geschichte gab es verschiedene Papierformate, zB. 3 : 4 oder 2 : 3.

Der Mathematiker, Physiker und Naturforscher Georg Christoph Lichtenberg hat bereits 1786 vorgeschlagen, das Verhaältnis 1 : √2, √2 ≈ 1,414, als Seitenverhältnis eines Papierformats zu verwenden. Es wurde auch zur Zeit der Französischen Revolution angewendet, geriet danach aber in Vergessenheit.

Der Chemiker und Nobelpreisträger Dr. Wilhelm Ostwald hat sich ab 1910 auch mit Papierformaten beschäftigt. Die Formate sollten zueinander ähnlich sein, d.h. die Verhältnisse der Seitenlängen sollten gleich bleiben. Grundlegende Seitenlänge ist 1 cm.

Dr. Walter Porstmann, Assistent von Wilhelm Ostwald, entwickelte darauf aufbauend ein Formatsystem, welches er nicht über die Seitenlänge der Papierformate, wie es Oswald gefordert hatte, sondern über den Flächeninhalt festlegte. Porstmann legte 1 m² für DIN A0 als Ausgangsmaß fest. Porstmann wurde 1920 Mitarbeiter des 1917 gegründeten Normenausschusses der Deutschen Industrie, Vorläufer des Deutschen Instituts für Normung.

Das Deutsche Institut für Normung hat dann am 18. August 1922 als DIN 476 die DIN A-, B-, C- und D-Reihe als Papierformate festgelegt. Die DIN A-, B- und C-Reihe wurde 1975 als internationaler Standard für Papierformate als ISO 216 übernommen. Dieser Standard gilt heute in den meisten Ländern der Welt mit Ausnahme z.B. von USA und Kanada.

DIN B-Reihe: DIN B0  Flächeninhalt 1,141 m² ≈ √2 m².
DIN C-Reihe: DIN C0  Flächeninhalt 1,189 m² ≈ √√2 m².
DIN D-Reihe: DIN D0  Flächeninhalt 0,841 m² ≈ 1 /√√2 m².

Bei DIN B, C und D gelten die gleichen Verhältnisse der Seitenlängen wie bei DIN A.

Konstruktion eines DIN A Rechtecks bei gegebenen Breite a

Gegeben ist das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a.

E liegt:
1) Auf dem Kreis um A mit Radius |AC|.
2) Auf der Halbgeraden [AB.

Das Rechteck AEFD ist ein DIN A Rechteck.

 
DIN A4 im Quadrat

Gegeben ist ein Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a, seine Diagonalen mit Mittelpunkt M und die Senkrechten zu den Seiten des Quadrats durch M.

Der Kreis um M mit Radius a/2 schneidet die Diagonalen in 4 Punkten, durch die jeweils Parallelen zu den Seiten gezogen werden.

Das Dreieck MQR ist gleichschenklig rechtwinklig mit der Hypotenuse 0,5a und den Katheten 0,5a/√2 (Pythagoras im ΔMQR).

Mit a = 297 mm ist EFGH ein DIN A4 Rechteck und MPGR ein DIN A5 Rechteck.

DIN A5 im Quadrat mit Kreisbögen

Gegeben ist ein Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a und seine Diagonalen.
Durch die Schnittpunkte der Kreisbögen um A, B, C und D mit Radius a werden jeweils Parallelen zu den Seiten des Quadrats gezeichnet. Diese schließen jeweils 4 kongruente Rechtecke mit der Breite b und der Länge l ein.

Das gleichschenklig rechtwinklige Dreieck APQ mit der Hypotenuse a hat die Katheten der Länge 0,5 a √2.

b = a – 0,5a√2 = 0,5a (2 – √2)

l = a – 2٠0,5a (2 – √2) = a (√2 – 1)

Länge l :  Breite b:

l : b = a (√2 – 1) : (0,5a (2 – √2))

l : b = 2(√2 – 1) : (2 – √2)

Ein Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a = 507 mm besitzt dann in obiger Figur 4 gleich große DIN A5 Rechtecke.