Das Sierpinski-Dreieck 1. Entstehung des Sierpinski-Dreiecks
Das Sierpinksi-Dreieck ist nach dem polnischen Mathematiker Waclaw Sierpinski (1882-1969) benannt.
Es entsteht folgendermaßen: Das Dreieck (Initiator) als
Ausgangsfigur wird in vier kongruente
2. Geometrische Überlegungen Fläche des so entstandenen Dreiecks nach dem n-ten Schritt: An = Das Sierpinski-Dreieck ist die Menge der Punkte der Ebene, die übrigbleiben, wenn man das Verfahren unendlich oft wiederholt. Für Randlänge der Dreiecke nach dem n-ten Schritt: l n = Für 3. Entstehung des Sierpinski-Dreiecks mit der Mehrfach-Verkleinerungs-Kopiermaschine (MVKM) Ein Dreieck wird um den Faktor 1/2 verkleinert und 3 Kopien der Verkleinerung werden so aneinander gesetzt, dass die Umrandung zum Ausgangsdreieck kongruent ist. Technisch lässt sich dies durch einen Kopierer mit Verkleinerungsfunktion und Dreifach-Linsen-System realisieren.
Hier sind drei verschiedene Linsensysteme dargestellt:
Entsprechend sind die erzeugten Sierpinski-Dreiecke, links
dargestellt.
Eine ständige Wiederholung dieses Verfahrens führt überraschenderweise völlig unabhängig von der Ausgangsfigur zum Sierpinski-Dreieck. Die Eigenschaft, dass das
Endobjekt nur vom Abbildungsverfahren und nicht vom Ausgangsobjekt abhängt,
heißt Stabilität.
Bei selbstähnlichen Strukturen gilt folgende Definition für die Dimension D: D =
Strecke: D = Quadrat: D = Sierpinski-Dreieck:
D = MVKM mit Verkleinerungsfaktor > 0,5: D > 1,585 MVKM mit Verkleinerungsfaktor
<
0,5:
D <
1,585
5. Das Chaos-Spiel (Michael F. Barnsley) Man nehme ein Blatt Papier und einen Bleistift und markiere z.B. die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks als Punkte 1, 2 und 3 (Bezugspunkte). Dann benötigt man einen Würfel, mit dem die Zahlen 1, 2 und 3 mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewürfelt werden können (z B. 1 oder 6 entspricht 1, 2 oder 5 entspricht 2, 3 oder 4 entspricht 3). Man beginne das Spiel mit einem beliebigen Punkt auf dem Blatt, der markiert wird (Spielpunkt). Nun wird gewürfelt. Wenn z.B. die Zahl 2 erscheint, setzt man einen Punkt genau in die Mitte zwischen Spielpunkt und Bezugspunkt 2. Mit diesem neuen Punkt als Spielpunkt wiederholt man Würfeln und Punkte setzen. Es entsteht eine Reihe von zufallsbedingt erzeugten Punkten.
Nach etwa 500 Spielpunkten wird ein Muster sichtbar und nach etwa 10000 Punkten (s. nebenstehendes Bild) wird bereits deutlich die Struktur des Sierpinski-Dreiecks sichtbar. Je größer die
Anzahl der Schritte beim Chaos-Spiel ist, um so mehr nähern sich die
Spielpunkte dem Sierpinski-Dreieck (Attraktor).
Die Menge aller s
=
s1s2s3...mit
s1
Dies ist bei den sog. Berührpunkten
der Fall.
Diese Eigenschaft haben sog.
zusammenhängende Attraktoren.
7. Das Pascalsche
Dreieck
Werden im Pascalschen Dreieck
die ungeraden Zahlen
Pascalsches Dreieck mit 32 Zeilen,
Bodenmosaik in der Kirche S. Maria in Trastevere in Rom
Literatur: H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe, Bausteine des Chaos,
Fraktale, Klett-Cotta/Springer-Verlag (1992)
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