Das Sierpinski-Dreieck

1. Entstehung des Sierpinski-Dreiecks

Das Sierpinksi-Dreieck ist nach dem polnischen Mathematiker Waclaw Sierpinski (1882-1969) benannt. 

Es entsteht folgendermaßen: 

Das Dreieck (Initiator) als Ausgangsfigur wird in vier kongruente
Dreiecke aufgeteilt und das mittlere Dreieck herausgenommen (Generator);
dieser Vorgang wird ständig wiederholt (Rekursion).
 

2.  Geometrische Überlegungen

Fläche des so entstandenen Dreiecks nach dem n-ten Schritt:

A_n  = A₀ , A₀ = Fläche des Ausgangsdreiecks

Das Sierpinski-Dreieck ist die Menge der Punkte der Ebene, die übrigbleiben, wenn man das Verfahren unendlich oft wiederholt.

Für  , d.h. die Fläche des Sierpinski-Dreiecks ist 0.

Randlänge der Dreiecke nach dem n-ten Schritt:

l _n =  l ₀ ,  l ₀ = Umfang des Ausgangsdreiecks.

Für  , d.h. die Randlänge des Sierpinski-Dreiecks ist unendlich.
 
 

3. Entstehung des Sierpinski-Dreiecks mit der Mehrfach-Verkleinerungs-Kopiermaschine (MVKM)

Ein Dreieck wird um den Faktor 1/2 verkleinert und 3 Kopien der Verkleinerung werden so aneinander gesetzt, dass die Umrandung zum Ausgangsdreieck kongruent ist. Technisch lässt sich dies durch einen Kopierer mit Verkleinerungsfunktion und Dreifach-Linsen-System realisieren.

Hier sind drei verschiedene Linsensysteme dargestellt:
überlappend, gerade berührend und total unzusammenhängend.

Entsprechend sind die erzeugten Sierpinski-Dreiecke, links dargestellt.
 
 

Eine ständige Wiederholung dieses Verfahrens führt überraschenderweise völlig unabhängig von der Ausgangsfigur zum Sierpinski-Dreieck.

Die Eigenschaft, dass das Endobjekt nur vom Abbildungsverfahren und nicht vom Ausgangsobjekt abhängt, heißt Stabilität.
  
  
  
   
   
  
  

  
4. Dimension D eines Fraktals

Bei selbstähnlichen Strukturen gilt folgende Definition für die Dimension D:

D =  ,    a = Anzahl der Teile, in die die Struktur zerlegt werden kann,  s = Verkleinerungsfaktor

Beispiele:

 Strecke: D =   =  1
 

 Quadrat: D =  = 2
 

 Sierpinski-Dreieck:   D  =     =  1,585

 MVKM mit Verkleinerungsfaktor > 0,5:  D > 1,585

 MVKM mit Verkleinerungsfaktor < 0,5:  D < 1,585
 (total unzusammenhängende Punktmenge)
 
 

5. Das Chaos-Spiel (Michael F. Barnsley)

Man nehme ein Blatt Papier und einen Bleistift und markiere z.B. die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks als Punkte 1, 2 und 3 (Bezugspunkte). Dann benötigt man einen Würfel, mit dem die Zahlen 1, 2 und 3 mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewürfelt werden können (z B. 1 oder 6 entspricht 1, 2 oder 5 entspricht 2, 3 oder 4 entspricht 3). Man beginne das Spiel mit einem beliebigen Punkt auf dem Blatt, der markiert wird (Spielpunkt). Nun wird gewürfelt. Wenn z.B. die Zahl 2 erscheint, setzt man einen Punkt genau in die Mitte zwischen Spielpunkt und Bezugspunkt 2. Mit diesem neuen Punkt als Spielpunkt wiederholt man Würfeln und Punkte setzen. Es entsteht eine Reihe von zufallsbedingt erzeugten Punkten.

Nach etwa 500 Spielpunkten wird ein Muster sichtbar und nach etwa 10000 Punkten (s. nebenstehendes Bild) wird bereits deutlich die Struktur des Sierpinski-Dreiecks sichtbar.

Je größer die Anzahl der Schritte beim Chaos-Spiel ist, um so mehr nähern sich die Spielpunkte dem Sierpinski-Dreieck (Attraktor).
 
 
6. Adressen für das Sierpinski-Dreieck

Die Menge aller s = s₁s₂s₃...mit s₁ {1, 2, 3} bilden den sog. Adressenraum S₃ .
Jedes Element G aus dem Adressenraum S₃  kennzeichnet einen Punkt z im Sierpinski-Dreieck. Zwei verschiedene Elemente von S₃ können jedoch demselben Punkt im Sierpinski-Dreieck angehören.

Dies ist bei den sog. Berührpunkten der Fall.
Z.B. hat der Berührpunkt A die Adresse 1333... oder 3111....

Diese Eigenschaft haben sog. zusammenhängende Attraktoren.
Ein sich verzweigender Adressenbaum liefert für n  wieder
das Sierpinski-Dreieck als Attraktor.
 
 
 
 
 
 
  
   
   

7.  Das Pascalsche Dreieck
 

Werden im Pascalschen Dreieck die ungeraden Zahlen
durch dunkle Kreise und die geraden Zahlen durch helle Kreise dargestellt, ergibt sich eine Ähnlichkeit zum Sierpinski-Dreieck.
 
 
 

Pascalsches Dreieck mit 32 Zeilen,
gerade Zahlen weiß, ungerade Zahlen schwarz
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   

Bodenmosaik in der Kirche S. Maria in Trastevere in Rom

Literatur:

H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe,  Bausteine des Chaos, Fraktale, Klett-Cotta/Springer-Verlag (1992)