Gruppe, zyklische Gruppe, Diedergruppe, symmetrische Gruppe und TranslationsgruppeDefinition
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° |
i |
d1 |
d2 |
i |
i |
d1 |
d2 |
d1 |
d1 |
d2 |
i |
d2 |
d2 |
i |
d1 |
Die
zyklische Gruppe
C3
ist kommutativ. Die Gruppentafel ist symmetrisch bezüglich der
Hauptdiagonale.
Die zyklische Gruppe C3
kann nur von dem Element d1
erzeugt werden: C3
= { d1, d12
,
d13
}
d12 =
d1
Die Diedergruppe Dn der Ordnung 2n besteht aus den Drehungen um das Vielfache von eines regelmäßigen n-Ecks um seinen Mittelpunkt als Drehzentrum und den n verschiedenen Achsenspiegelungen. Die Gruppenoperation ist die Hintereinanderausführung von Drehungen und Spiegelungen.
Beispiel: Die Diedergruppe D3 = {i, s1, s2, s3, d1, d2}
Bezeichnungen:
s1 : Spiegelung an der Achse a1
s2 : Spiegelung an der Achse a2
s3 : Spiegelung an der Achse a3
d1 : Drehung um 120° gegen den Uhrzeigersinn mit Drehzentrum M
d2 : Drehung um 240° gegen den Uhrzeigersinn mit Drehzentrum M
i = d3 : identische Abbildung = Drehung um 360° gegen den Uhrzeigersinn mit Drehzentrum M.
Die Gruppenoperation ° ist die Hintereinanderausführung von Spiegelungen und Drehungen.
Verknüpfungstafel:
° |
i |
d1 |
d2 |
s1 |
s2 |
s3 |
i |
i |
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s1 |
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s1 |
d2 |
d2 |
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d1 |
s3 |
s1 |
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s1 |
s1 |
s3 |
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i |
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d1 |
s2 |
s2 |
s1 |
s3 |
d1 |
i |
d2 |
s3 |
s3 |
s2 |
s1 |
d2 |
d1 |
i |
Die Diedergruppe
D3
ist nicht kommutativ, da die Gruppentafel keine Symmetrie z
Die zyklische Gruppe C3 (hellgrün) ist eine Untergruppe der Diedergruppe D3.
Die
symmetrische Gruppe
Sn ist die Gruppe, die aus allen
Permutationen (Vertauschungen) einer n-elementigen
Menge besteht. Die Gruppenoperation ist die Verkettung (Hintereinanderausführung)
der Permutationen; das neutrale Element ist die Permutation, die alle Elemente
invariant lässt.
Die
symmetrische Gruppe Sn ist
endlich und besitzt die Ordnung n! ; für n
> 2 ist sie nicht kommutativ.
Beispiel:
Die symmetrische Gruppe S3
Die
symmetrische Gruppe
S3
besteht aus 6 Elementen, den
Permutationen einer dreielementigen Menge, z.B. der Menge {1, 2, 3}.
a) S3 in Matrixschreibweise:
In der 2. Zeile stehen jeweils die zugeordneten Zahlen.
b)
S3
kürzer
in
Zyklenschreibweise:
{ (1) bzw.( ), (23), (13), (12), (123), (132) }
Verknüpfungstafel
in Zyklenschreibweise:
o |
(1) |
(123) |
(132) |
(23) |
(13) |
(12) |
(1) |
(1) |
(123) |
(132) |
(23) |
(13) |
(12) |
(123) |
(123) |
(132) |
(1) |
(13) |
(12) |
(23) |
(132) |
(132) |
(1) |
(123) |
(12) |
(23) |
(13) |
(23) |
(23) |
(12) |
(13) |
(1) |
(132) |
(123) |
(13) |
(13) |
(23) |
(12) |
(123) |
(1) |
(132) |
(12) |
(12) |
(13) |
(23) |
(132) |
(123) |
(1) |
Ein
Vergleich der Verknüpfungstafeln von S3 und D3
liefert die gleiche Gruppenstruktur. Man sagt, dass die Symmetriegruppe
S3
isomorph
zur Diedergruppe
D3
ist.
Isomorphie (Isomorphismus)
bedeutet dabei eine umkehrbar eindeutige Abbildung zwischen zwei mathematischen
Strukturen.
Wenn man die Eckpunkte A1, A2 und A3 des obigen gleichseitigen Dreiecks durch die Zahlen 1, 2 und 3 ersetzt, wird der Zusammenhang deutlich:
Die
Permutationen (23), (13), (12), (123), (132) entsprechen den Spiegelungen s1,
s2, s3 und den Drehungen d1, d2 .
Die beiden zugehörigen Gruppentafeln zeigen die gleiche Struktur.
Verknüpfung zweier Abbildungen in
Matrixschreibweise:
s1
o
d2 = s2
Zyklische
Gruppen als Untergruppen:
C3
=
{ (1), (123), (132)
}
C2
=
{ (1), (12)
} ,
C2
= { (1), (13)
}
oder
C2
= { (1), (23)
}
Die Linearkombination x = m a + n b der Verschiebungsvektoren a und b mit ganzzahligen Parametern m und n, bezogen auf einen beliebigen Knotenpunkt als Zentrum O, bildet die diskrete Translationsgruppe T eines ebenen Gitters.