Regelmäßige Vielecke 


Definition eines regelmäßigen n-Ecks:

Ein n-Eck heißt regelmäßig, wenn alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind.

Regelmäßige n-Ecke von n = 3 bis 8:  

Links mit Bestimmungsdreieck, rechts mit Diagonalen und Symmetrieachsen

 

Eigenschaften eines regelmäßigen n-Ecks:

  1. Jedes regelmäßige n-Eck besitzt einen Umkreis und einen Inkreis.

  2. Jedes regelmäßige n-Eck lässt sich in n kongruente Dreiecke zerlegen, die zum gleichschenkligen Bestimmungsdreieck ABM kongruent sind.
    Mittelpunktswinkel  l  =  360° : n 
    Basiswinkel  =  (180° -  l) : 2

  3. Die Winkelsumme im n-Eck beträgt 180° * (n-2).

  4. Jedes regelmäßige n-Eck besitzt n verschiedene Symmetrieachsen.

  5. Ab der Eckenzahl 6 gibt es bei geradzahligen n-Ecken Mehrfachschnittpunkte, bei denen sich mehr als 2 Diagonalen in einem Punkt schneiden.

Spezielle Eigenschaften von regelmäßigen n-Ecken:
 
Anzahl der Ecken Anzahl der Verbindungs- strecken Anzahl der Diagonalen Anzahl der Diagonal- schnittpunkte Anzahl nicht überdeckender Dreiecke Anzahl aller Teildreiecke
3 3 0 0 1 1
4 6 2 1 4 8
5 10 5 5 10 35
6 15 9 12 18 110
7 21 14 35 35 287
8 28 20 49 56 632
9 36 27 126 90 1302
...          
n          

k1, k2  sind Korrekturzahlen bei geradem n>5 wegen Mehrfachschnittpunkten.

n = 6:    k1 = 3;    k2 = 1

n = 8:    k1 = 21;    k2 = 12

 

Es gilt:  

 

Erklärung zur 2. Spalte in der Tabelle:

Mit Abzählen und geschickter Summation:  Vom 1. Eckpunkt gehen n-1, vom 2. Eckpunkt n-2 Verbindungslinien und vom letzten Eckpunkt 1 Verbindungslinie aus. Eine geschickte Summierung aller Verbindungslinien (1. + letzter, 2. + vorletzter usw.) liefert  [(n-1)+1] + [(n-2)+2] + ..., das sind (n-1)/2 Summanden n.

Mit Kombinatorik:  Da jeweils 2  von  n  Punkten verbunden werden, gibt es 
Verbindungsstrecken der n Punkte.

 

Erklärung zur 4. Spalte in der Tabelle:

Falls es keine Mehrfachschnittpunkte der Diagonalen gibt liefern jeweils die Verbindungsstrecken von vier verschiedenen Punkten des n-Ecks einen Diagonalschnittpunkt. Nach den Regeln der Kombinatorik gibt es dann insgesamt Diagonalschnittpunkte.

  

Erklärungen zur 6. Spalte in der Tabelle:

1. Fall:  

Ein Dreieck entsteht im n-Eck durch die Verbindungsstrecken dreier verschiedener Eckpunkte. Es gibt dafür  Möglichkeiten.

  

  

  

  

2. Fall:  

Durch die Verbindungsstrecken von vier verschiedenen Eckpunkten gibt es weitere Möglichkeiten.

  

  

  

  

  

  

3. Fall:  

Durch die Verbindungsstrecken von fünf verschiedenen Eckpunkten gibt es weitere Möglichkeiten.

  

  

  

  

 

4. Fall:  

Schließlich erhält man durch die Verbindungsstrecken von sechs verschiedenen  Eckpunkten noch zusätzlich  Möglichkeiten.

  

  

  

  

  

Typischer Unterschied im Verlauf der Diagonalen bei einem geradzahligen und ungeradzahligen regelmäßigen n-Eck:

 

  

     


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