Anwendungsbeispiele für
die Exponentialfunktion und die logistische Funktion

Verzinsung

Ein Kapital K(0) =1000 € wird zu 2,5% verzinst.

Berechnung des Guthabens (Kapitals) K(t) nach t Jahren:

K(t) = K(0) × 1,025 t mit K(0) = 1000 €

Nach t = 10 Jahren ergibt sich:

K(10) = 1000 €٠1,02510  = 1280,08 €

Verdopplung des Kapitals:

2٠K(0) = K(0)٠1,025 t    t = ln 2 / ln 1,025    28

Eine Verdopplung des Kapitals ergibt sich nach etwa 28 Jahren.

(ln = natürlicher Logarithmus = Logarithmus zur Basis e ≈ 2,71828)

 

Bakterienwachstum

Ein Biologe stellt bei der Beobachtung einer Bakterienkultur fest, dass sich die von den Bakterien bedeckte Fläche A(t) in der Petrischale jede Stunde um 20% vergrößert, d.h. die 1,2-fache Fläche.
Berechnung der Fläche nach t = 1, 2, 3, ..., n Stunden (h), wenn sie zu Beginn der Beobachtung 10 mm2 groß war:

A(1) = A(0)٠1,2   mit  A(0) = 10 mm2

A(2) = A(0)٠1,2 ٠1,2  =  A(0)٠1,2 2 

A(2) =  A(0)٠1,2 3 

. . .

A(t) = A(0)٠1,2 t  mit  A(0) = 10 mm2

Graphische Darstellung von A(t) in Abhängigkeit von t

Verdopplung der Fläche: A(t) = 2٠A(0) 

  1,2 t  = 2    ln 1,2 t  = ln 2  t٠ln 1,2 = ln 2    t ≈ 3,8

Nach jeweils 3,8 Stunden verdoppelt sich die mit Bakterien bedeckte Fläche.

(ln = natürlicher Logarithmus = Logarithmus zur Basis e ≈ 2,71828)

Das Wachstum ist jedoch durch die Größe der Petrischale begrenzt!

   

Bevölkerungswachstum

Die Weltbevölkerung ist in der Vergangenheit angenähert exponentiell gewachsen.

Gleichung der Exponentalfunktion zur Näherung des Bevölkerungswachstums zwischen 1950 und 2020:

f(x) = f(0)٠1,0153 10٠t   mit  f(0) = 2,8٠106 Menschen im Jahr 1950 (für Näherung 2,8 statt 2,54)

1 Zeiteinheit für t entspricht 10 Jahre. Die Basis 1,0153 = 1 + 1,53%

1,53% ist das mittleres Wachstum zwischen 1950 und 2000.

Statistikwerte sind als grüne Punkte dargestellt,

prognostizierte Werte als rote Punkte, Grenzwert 11 Milliarden Menschen, Quelle: https://de.statista.com

Gleichung der logistischen Funktion zur Darstellung der möglichen weiteren Bevölkerungsentwicklung ab 2020:

g(x) =

Startwert g(6) = 6,96 bei t = 6 (im Jahr 2010)

Graphische Darstellung Gf (grün) und Gg (blau) des Bevölkerungswachstums der Welt:

 

Entwicklung der 7-Tage-Inzidenz des Coronavirus
in Deutschland von 2.3.2020 bis 22.3.2020

 7-Tage-Inzidenz

0,2

0,9

2,8

9,8

25,4

35,9

42,8

 Zeit t

0

1

2

3

4

5

6

 Datum

2.3.2020

7.3.2020

12.3.2020

17.3.2020

22.3.2020

27.3.2020

1.4.2020

1 Zeiteinheit für t entspricht 5 Tage, Maximum der 7-Tage-Inzidenz bis 9/2020 am 4.4.2020: 44,5,   Quelle: RKI

Exponentielle Näherung:  f(t) = 0,2٠3,6 t (grün),

Logistische Näherung:      g(t) =    (blau)

 

Graphische Darstellung von f(t) und g(t) in Abhängigkeit von der Zeit
Die 7-Tage-Inzidenz-Werte sind als rote Punkte dargestellt

 

Radioaktiver Zerfall

Das Zerfallsgesetz für die Aktivität A(t) eines radioaktiven Präparats zum Zeitpunkt t lautet:

A(t) = A(0)٠e - λ٠t ,  A(0) = Aktivität zum Zeitpunkt t = 0,  λ heißt Zerfallskonstante.

Die Einheit der Aktivität ist 1 Bq (Becquerel) = 1 radioaktiver Zerfall pro Sekunde.

Zusammenhang zwischen Halbwertszeit T½  und  λ: 

½ A(0) = A(0)٠e - λ٠   ln ½ = - λ٠ T½   und  ln ½ = - ln 2, daraus folgt:

 λ =,  ln 2 ≈ 0,6931

(ln = natürlicher Logarithmus = Logarithmus zur Basis e ≈ 2,71828)

Beispiel:

Caesium-137:  T½ = 30,1 Jahre (u.a. freigesetzt bei der Reaktorkatastrophe von Tschernobyl)

A(t) = A(0)٠e ٠t , A(0) = 1000 Bq,  λ ≈ 0,02303 1/Jahre, t in Jahren

Graphische Darstellung der Aktivität A(t) in Abhängigkeit von der Zeit t

 

Exponentielle Abnahme des Luftdrucks

Der absolute Luftdruck p(h) nimmt mit der Höhe h exponentiell ab und zwar um ca. 0,01284% pro m (Meter).

Luftdruck in Höhe h = 1 m: 100% - 0,01284% = 99,98716% von 1013,25 hPa.

Bei jedem weiteren Meter nimmt der Luftdruck um das 0,9998716-fache ab.

p(h) = p(0) * 0,9998716 h , p(0) = 1013,25 hPa (Hektopascal)

1013,25 hPa ist der Luftdruck auf Meeresniveau.

Einheiten: 1 Pa = 1 N/m², 1 hPa = 1 mbar, 1013,25 hPa ≈ 1 bar

Höhe in m

1000

2000

3000

4000

5000

5398

Luftdruck in hPa

891

784

689

606

533

p(0)/2

Auf der Zugspitze h = 2962 m ergibt sich als Luftdruck:

p(2962)= 1013,25 * 0,9998716 2962 = 1013,25 * 0,683625 = 692,7 hPa

692,7 hPa von 1013,25 hPa sind 68,4%

Auf dem Mount Everest h = 8848 m ergibt sich als Luftdruck:

p(8848)= 1013,25 * 0,9998716 8848 = 1013,25 * 0,32105 = 325,3 hPa

325,3 hPa von 1013,25 hPa sind 32,1%
 

Graphische Darstellung des Luftdrucks p(h) in Abhängigkeit von der Höhe h

 


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