Exponentalfunktionen

Die allgemeine Exponentalfunktion

x wird abgebildet auf y = f(x)  mit der Gleichung: 
f(x) = a
x , x   (x ist Element der reellen Zahlen, a > 0)

Beispiele:  f(x) = 1,2x, g(x) = 1,5x, h(x) = 2x

Graphische Darstellung


 

Bei h(x) = 2x ergibt sich für x = 1, 2, 3, … y = 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, …

Das bedeutet, dass bei gleichem zeitlichen Abstand 1 der Wert von y sich verdoppelt, vervierfacht, verachtfacht, usw., d.h. der Wert von y nimmt um den Faktor 21, 22, 23 . . . exponentiell zu.

Bei jeder Exponentialfunktion gilt:

Bei zunehmend gleichem Abstandswert Δx verdoppelt sich jeweils der Wert von y.

Die Funktion h hat ein stärkeres exponentielles Wachstum als die Funktion g.

 

Die natürliche Exponentalfunktion

x wird abgebildet auf y = f(x)  mit der Gleichung   
f(x) = e
x , x    (x ist Element der reellen Zahlen)

e ≈ 2,718281828 (Eulersche Zahl)

Darstellung des Graphen Gf der natürlichen Exponentalfunktion

            

Für x = 1, 2, 3, … ergibt sich y = e, e2, e3, … (exponentielles Wachstum)

Für die natürliche Exponentialfunktion gilt: 
Die Steigung an der Stelle x ist gleich dem Funktionswert an der Stelle x, kurz:  f ‘(x) = f(x) 
 ex = ex

Beispiel:  

f(1) = e,
f ‘(1) = e, entspricht der Steigung 
 = e : 1  im Steigungsdreieck ABC.


Die Umkehrfunktion zu f(x) = ex , x  

f -1(x) = loge x = ln x,  x  +  heißt natürliche Logarithmusfunktion,  wobei gilt:

ln ex = x,  für x = 1 gilt  ln e = 1  (loge x  = Logarithmus von x zur Basis e, ln x = natürlicher Logarithmus von x)

Darstellung des Graphen Gf der natürlichen Exponentalfunktion und seiner Umkehrfunktion Gg  mit g = f -1


Rechenregeln:

ax = ex٠ln a     ln ax = ln ex٠ln a     ln ax = x٠ln a


Andere Schreibweise der allgemeinen Exponentialfunktion:

f(x) = ex٠ln a =  ek٠x , x    mit k = ln a und a > 0

Für die Ableitung gilt:

f ‘(x) = k٠ek٠x, x   

 

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