Dezimal-, Dual- und Hexadezimalsystem

Dezimalsystem (Zehnersystem)

Im Zehnersystem gibt es die 10 Ziffern  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Beispiele: 

a) Ganze Dezimalzahl

H = Hundert(er), Z = Zehn(er), E = Eine(r)

Abkürzung

H

Z

E

H

Z

E

H

Z

E

H

Z

E

Bezeichnung

Milliarde(n)

Million(en)

Tausend(er)

 

Stellenwert

1011

1010

109

108

107

106

105

104

103

102

101

1=100

Ziffer

0

0

1

3

8

4

7

2

0

5

7

3


1٠109 + 3٠108 + 8٠107 + 4٠106 + 7٠105 + 2٠104 + 0٠103 + 5٠102 + 7٠101 + 3  =  

= 1 384 720 573

Eine Milliarde dreihundertvierundachtzig Millionen siebenhundertzwanzigtausend fünfhundertdreiundsiebzig

 

1012  = Billion, 1015  = Billiarde, 1018  = Trillion, 1021  = Trilliarde,

1024  = Quadrillion, 1027  = Quadrilliarde, . . .


Vorsicht!
  1 billion (USA) = 1 Milliarde, 1 trillion (USA) = 1 Billion


b) Dezimalbruch

z = zehntel, h = hundertstel, t = tausendstel, zt = zehntausendstel,

Abkürzung

H

Z

E

z

h

t

zt

Stellenwert

102

101

1=100

10-1

10-2

10-3

10-4

Ziffer

1

4

5

3

0

7

2

1٠102 + 4٠101 + 5 + 3٠10-1 + 0٠10-2 + 7٠10-3 + 2٠10-4  =  145,3072

ht = hunderttausendstel (10-5) , m = millionstel (10-6), . . .
 

Dualsystem (Binärsystem, Zweiersystem)

Im Dualsystem gibt es nur die beiden Ziffern  0 und 1

Beispiele:

a) Ganze Dualzahl

Stellenwert

28

27

26

25

24

23

22

21

1=20

Ziffer

0

1

1

0

1

0

1

1

1

   10110101112  (Dualzahl mit Index 2 gekennzeichnet) =

= 1٠27 + 1٠26 + 0٠25 + 1٠24 + 0٠23 + 1٠22 + 1٠21 + 1  =

=  128 + 64 + 16 + 4 + 2 + 1  =  215

b) Dualbruch

Stellenwert

22

21

20

2-1

2-2

2-3

2-4

Ziffer

1

0

1

1

0

1

1

    101,10112 =
=  1٠22 + 0٠21 + 1 + 1٠2-1 + 0٠2-2 + 1٠2-3 + 1٠2-4  = 

= 3 + 1/2 + 1/8 + 1/16  =  3 + 11/16  = 3,6875

Die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division erfolgt bei den Dualzahlen wie bei den Dezimalzahlen, wobei gilt:

0 + 0 = 0, 1 + 0 = 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 10  und 0٠0 = 0, 1٠0 = 0٠1 = 0, 1٠1 = 1

Beispiel:

Stellenwert

64

32

16

8

4

2

1

Dezimal

Dual

 

1

0

1

0

1

0

42

+

 

 

1

1

1

1

1

31

Übertrag

 

1

1

1

1

 

 

 

 

1

0

0

1

0

0

1

73

  

Vergleich der ersten 15 Zahlen im Dezimal-, Dual-, Ternär (Dreier)- und  Hexadezimalsystem (16er System):

Dezimalsystem

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Dualsystem

0

1

10

11

100

101

110

111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

Ternärsystem

0

1

2

10

11

12

20

21

22

100

101

102

110

111

1110

112

Hexadezimalsystem

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F


185  =  101110012  =  202123  =  B9hex  (Hexadezimalzahl mit Index hex)

255  =  111111112  =  FFhex 

Eine Zahl kann im Hexadezimalsystem deutlich kürzer als im Dualsystem dargestellt werden.


Die Bedeutung der Dualzahlen beim Computer

Ein Computer wird mit binären Operationen gesteuert.
Im Computer (Prozessor, Arbeitsspeicher, Daten- und Adressbus, Betriebssystem) und auch bei der Ein- und Ausgabe von Daten werden Dualzahlen verwendet. Sie werden jedoch meist in Form von Hexadezimalzahlen dargestellt.
Jede Speicherung von Daten erfolgt technisch als Dualzahl. Das heißt, jeglicher Datensatz (Text, Bilder, Audio, Video) wird in eine meist lange Reihe von Einsen und Nullen umgewandelt. Ein Computerprogramm entscheiden darüber, was der Strom von Nullen und Einsen schließlich darstellen soll.
Computer können inzwischen eine sehr große Zahl an Bits (0 oder 1) im Arbeitsspeicher speichern oder im Prozessor verarbeiten.

Bespiel:    Arbeitsspeicher 8 GB (Gigabyte) = 64 000 000 000 Bit
                 64-Bit Betriebssystem, 64-Bit Prozessor

Der ASCII-Code

Zur Eingabe und Ausgabe von Daten wurden Steuerzeichen, Buchstaben und Symbole im ASCII-Standard (American Standard Code for Information Interchange) zunächst mit einem 7-Bit-Code (128 verschiedene Zeichen als 7stellige Dualzahlen) verwendet , dann mit einem erweiterten 8-Bit-Code (8 Bits = 1 Byte, 256 verschiedene Zeichen als 8stellige Dualzahlen), dargestellt mit verschiedenen Codepages bei MS-DOS für verschiedene Regionen. Die 256 verschiedenen Darstellungen im erweiterten ASCII-Code reichen als Dualzahl von 00000000 bis 11111111 (dezimal von 0 bis 255).
Die ersten 32 Codes stellen Steuerzeichen für den Computer dar.
Beispiele:  Backspace   =  00001000
2 = 08hex   = 8 (Cursor eine Position zurück)
                  Buchstabe A = 01000001
2 = 41hex  = 65
                  Buchstabe  a = 01100001
2 = 61hex  = 97

Unicode

Unicode wurde mit dem Ziel geschaffen, als einheitlicher Standard für die Darstellung  sämtlicher von Menschen entwickelter Schriftsysteme und Zeichen zu dienen.
Der gesamte vom Unicode-Standard (32-Bit pro Zeichen) beschriebene Bereich umfasst 1 114 112 mögliche Zeichen (0000
hex bis 10FFFFhex), bisher (2020) wurden 143 859 verschiedene Buchstaben und Zeichen dargestellt bzw. codiert.

Maschinencode

Der binäre Maschinencode steuert die Rechenvorgänge im Computer.
Die Eingabe der Befehle kann auch durch einen Assembler erfolgen, der die Eingabe vereinfacht.
Die Programmierarbeit wird aber durch die modernen Programmiersprachen wesentlich erleichtert.

 

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