Funktionen

Unter einer Funktion f versteht man eine Abbildung x ↦ y = f(x), die jedem Wert x genau einen Wert y zuordnet. Die Menge aller Zahlen, die x annehmen darf, heißt Definitionsmenge D_f von f.

Meist ist eine Funktion f in Form einer Gleichung  y = f(x)  gegeben und als Definitionsmenge die Menge der reellen Zahlen ℝ. Die Menge der reellen Zahlen ℝ umfasst die Menge der natürlichen Zahlen ℕ, der ganze Zahlen ℤ, der rationalen Zahlen (Brüche und Dezimalbrüche) ℚ und der irrationalen Zahlen (Wurzeln).

Funktionen lassen sich graphisch auf dem Computer auch mit Hilfe von Geometriesoftware, w.z.B geogebra, darstellen.

Zur Vereinfachung wird als Bruchstrich das Zeichen / verwendet statt –.

a)  Lineare Funktion

Beispiel:   f(x) = 2x – 3, D_f = ℝ

Der Graph G_f von f ist eine Gerade, die durch 2 Punkte gegeben ist,
z.B. f(0) = – 3  und  f(2) = 1  liefert die Punkte (0; –3)  und  (2; 1)

Graphische Darstellung G_f

Für den Schnittpunkt mit der x-Achse gilt: f(x) = 0

2x – 3 = 0  oder  2x = 3  oder  x = 1,5 (Nullstelle)

Allgemeine lineare Funktion

f(x) = mx + t, D_f = ℝ

m gibt die Steigung und t den y-Abschnitt an.

Graphische Darstellung G_f

Graphische Darstellung mit variablen m und t (Schieberegler)
 

 b) Quadratische Funktion

Beispiel:   f(x) = x² – 2x – 3, D_f = ℝ

Der Graph der Funktion hat die Form einer Parabel, die sich mit Hilfe der quadratischen Ergänzung und Anwendung der binomischen Formel günstiger darstellen lässt:

f(x) = x² – 2x + 1 – 1 – 3  |  quadratische Ergänzung mit 1 = 2:2 zur

f(x) = (x – 1)² – 4             |  Anwendung der binomischen Formel

f(x) = (x – 1)² – 4  ist die Scheitelpunktform der quadratischen Gleichung.

Daraus lässt sich der Scheitelpunkt S der Parabel ablesen, durch den eine senkrechte Symmetrieachse verläuft:

                                               S(1; – 4)

Graphische Darstellung G_f  mit  f(0) = f(2) = – 3 und  f(-1) = f(3) = 0

Nullstellen der Funktion:  f(x) = 0  für x = –1 und x = 3

Allgemeine quadratische Funktion

Scheitelpunktform der quadratischen Gleichung

f(x) = a(x – b)² + c, D_f = ℝ

Scheitelpunkt S(b ; c)

Graphische Darstellung für a = 0.5, b = 1, c = – 2

Graphische Darstellung mit variablen a, b und c (Schieberegler)

Allgemeine Form der quadratischen Gleichung

f(x) = ax² + dx + e, D_f = ℝ

Umformung in Scheitelpunktform:

f(x) = a(x² + d/a٠x + (d/2a)² – (d/2a)² ) + e  | quadratische Ergänzung

f(x) = a(x + d/2a)² - a٠d²/4a² + e   | binomische Formel anwenden

f(x) = a(x – (– d/2a))² – d²/4a + e

Scheitelpunkt S(– d/2a; e – d²/4a)

c) Polynomfunktionen

Unter einer Polynomfunktion vom Grad n versteht man eine Funktion mit folgender Funktionsgleichung

f(x) = a₀ +a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ, x ϵ ℝ; a₀, a₁, a₂, … a_n-1 ϵ ℝ, a_n ϵ ℝ\{0}

1. Beispiel:  f(x) = x³ – 6x² – 12x, x ϵ ℝ

Der Graph G_f der Funktion hat an der Stelle x₁ = 1 ein lokales Maximum und an der Stelle x₂ = 3 ein lokales Minimum
(Bestimmung mit Hilfe der Ableitung der Funktion f)
  

2. Beispiel:   f(x) = x⁴ – 2x² – 1, x ϵ ℝ

Der Graph G_f der Funktion hat an der Stelle x₁ = –1 und x₂ = 1 ein lokales Minimum und an der Stelle x₂ = 3 ein lokales Maximum
(Bestimmung mit Hilfe der Ableitung der Funktion f)

d) Rationale Funktionen

1. Beispiel:  f(x) = 1/x, x ϵ ℝ\{0}

An der Stelle x = 0 ist die Funktion nicht definiert und besitzt eine senkrechte Asymptote.

Die Funktionswerte nähern sich zunehmend der Asymptote für x gegen 0.

2. Beispiel:  f(x) = 3x / (2x – 4) , x ϵ ℝ\{2}

An der Stelle x = 2 ist die Funktion nicht definiert und besitzt die senkrechte Asymptote x = 2.

Der Graph G_f der Funktion besitzt auch die waagrechte Asymptote y = 1,5  für x gegen ∞ bzw. x gegen – ∞.

Die Asymptoten werden von den Funktionswerten nicht berührt, die Funktionswerte nähern sich nur zunehmend den Asymptoten.

3. Beispiel:  f(x) = 4 / (x² + 1) , x ϵ ℝ

Der Graph G_f der Funktion besitzt die waagrechte Asymptote y = 0  für x gegen ∞ bzw. x gegen – ∞.

Der Graph G_f hat bei x = 0 ein lokales Maximum.

e) Trigonometrische Funktionen

Sinus- und Kosinusfunktion

f(x) = sin(x)  und  g(x) = cos(x), x ϵ ℝ

Allgemeine Sinusfunktion

f(x) = a sin(b(x – c))  + d, x ϵ ℝ

allgemeine Sinusfunktion mit variablen a, b, c oder d (Schieberegler)

Tangensfunktion

f(x) = tan(x) = sin(x) / cos(x), x ϵ ℝ\{± 1/2 π, ± 3/2 π, ± 5/2 π, …}

Der Graph G_f  der Funktion f besitzt an den Stellen
x = ±(2n–1)/2 π, n ϵ ℕ senkrechte Asymptoten.

Die Nullstellen der Funktion sind dieselben wie bei der Sinus-Funktion.

f) Exponential- und Logarithmusfunktionen

Exponential- und Logarithmusfunktion

Exponentialfunktion f:   f(x) = a^x, x ϵ ℝ, a > 0 und a ≠ 1
Umkehrfunktion zu f ist die Logarithmusfunktion:    f^-1(x) = log_ax, x ϵ ℝ⁺
(lies: „Logarithmus von x zur Basis a, x ist Element aus der Menge der positiven reellen Zahlen“)

Beispiel:  a₁ = 2; a₂ = 1,5

Die Graphen der Exponentialfunktion und der zugehörigen Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion sind an der Winkelhalbierenden y = x des I. und III. Quadranten gespiegelt.

Die allgemeine Exponentialfunktion

f(x) = a^bx + c, x ϵ ℝ, a > 0 und a ≠ 1, b ≠ 0

Für a > 1 und b > 0 oder 0 < a < 1 und b < 0 steigt der Graph G_f  für zunehmendes x, f ist Wachstumsfunktion (exponentielles Wachstum)

Für 0 < a < 1 und b > 0 oder  a > 1 und b < 0 fällt der Graph G_f  für zunehmendes x, f ist Zerfallsfunktion (exponentieller Zerfall)

Der Graph von y = a^-x ist im Vergleich zum Graphen von y = a^x an der y-Achse gespiegelt.

Der Graph G_f besitzt die Asymptote y = c.

allgemeine Exponentialfunktion mit variablen a, b, c (Schieberegler)