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Symmetrieeigenschaften der Archimedischen Körper
Bei der Drehsymmetrie (Rotationssymmetrie)
werden die Körper
senkrecht von oben in Richtung der Rotationsachse (Drehachse) betrachtet. 1) Der Tetraederstumpf
3
zweizählige -
4 dreizählige Drehsymmetrien
6
Symmetrieebenen: jede Ebene enthält eine Kante des ursprünglichen Tetraeders
und halbiert die gegenüberliegende Kante.
Es gibt insgesamt 24 Symmetrieoperationen,
die die Tetraedergruppe Td
bilden. 2) Das Kuboktaeder
6
zweizählige -
4 dreizählige -
3 vierzählige Drehsymmetrien
9
Symmetrieebenen: 3 Ebenen verlaufen parallel zu den Quadratflächen (ähnlich
wie beim Würfel), und 6 Ebenen verlaufen diagonal durch die Kanten.
Der Körper ist punktsymmetrisch zu seinem
Mittelpunkt und hat 2 Drehspiegelachsen. 3) Der Hexaederstumpf
6 zweizählige
-
4 dreizählige -
3 vierzählige Drehsymmetrien
9
Symmetrieebenen: 3 Ebenen verlaufen parallel zu den Achtecksflächen, 6
Ebenen verlaufen diagonal durch den Körper. Es gibt eine Punktspiegelung am
Mittelpunkt des Körpers und 2 Drehspiegelachsen. 4) Der Oktaederstumpf
6 zweizählige -
4 dreizählige -
3 vierzählige Drehsymmetrien
9
Symmetrieebenen: 3 Ebenen liegen parallel zu den Quadratflächen, 6 Ebenen
verlaufen diagonal durch den Körper. Es gibt eine Punktspiegelung am
Mittelpunkt des Körpers und 2 Drehspiegelachsen.
5) Das Rhombenkuboktaeder
6 zweizählige -
4 dreizählige -
3 vierzählige Drehsymmetrien
9
Symmetrieebenen: 3 Ebenen stehen senkrecht zu den vierfachen Drehachsen, 6 Ebenen
verlaufen diagonal durch den Körper. Es gibt eine Punktspiegelung am
Mittelpunkt des Körpers und 2 Drehspiegelachsen.
6) Der
Kuboktaederstumpf
6
zweizählige -
4 dreizählige -
3 vierzählige Drehsymmetrien
9
Symmetrieebenen: 3 Ebenen verlaufen horizontal und vertikal, 6 Ebenen
verlaufen diagonal durch den Körper. Es gibt eine Punktspiegelung am
Mittelpunkt des Körpers und 2 Drehspiegelachsen.
7) Das
abgeschrägte Hexaeder
6
zweizählige -
4 dreizählige -
3 vierzählige Drehsymmetrien
Es besitzt nur
Drehsymmetrien.
8) Ikosidodekaeder
6
zweizählige -
4 dreizählige -
3 vierzählige Drehsymmetrien
Es gibt
15 Symmetrieebenen und eine Punktspiegelung am Mittelpunkt des
Körpers.
9) Der
Dodekaederstumpf
15
zweizählige -
10 dreizählige -
6 fünfzählige Drehsymmetrien
Es gibt
15 Symmetrieebenen und eine Punktspiegelung am Mittelpunkt des
Körpers.
10) Ikosaederstumpf
15
zweizählige -
10 dreizählige -
6 fünfzählige Drehsymmetrien
Es gibt
15 Symmetrieebenen und eine Punktspiegelung am Mittelpunkt des
Körpers.
11) Rhombenikosidodekaeder
15
zweizählige -
10 dreizählige -
6 fünfzählige Drehsymmetrien
Es gibt
15 Symmetrieebenen und eine Punktspiegelung am Mittelpunkt des
Körpers.
12) Ikosidodekaederstumpf
15
zweizählige -
10 dreizählige -
6 fünfzählige Drehsymmetrien
Es gibt
15 Symmetrieebenen und eine Punktspiegelung am Mittelpunkt des
Körpers.
13) Abgeschrägtes Dodekaeder
15
zweizählige -
10 dreizählige -
6 fünfzählige Drehsymmetrien
Es gibt nur 60
Drehsymmetrien.
Die Symmetriegruppen der
Archimedischen Körper
Tetraedergruppe Td
Die volle Tetraedergruppe
Td
besitzt insgesamt 24 Symmetrieoperationen. In der Gruppentheorie ist
sie isomorph zur symmetrischen Gruppe
S4, da jede
Symmetrieoperation einer eindeutigen Permutation der vier Ecken des
Tetraeders entspricht.
Die 24 Operationen lassen sich in fünf
Klassen unterteilen:
Identität (E):
1 Abbildung, die den Körper unverändert lässt.
Zweizählige
Drehungen (C2):
3 Drehungen um 180° um die 3 Achsen, die durch die Mittelpunkte
gegenüberliegender Kanten verlaufen.
Dreizählige
Drehungen (C3):
8 Drehungen um 120° und 240° um die 4 Achsen, die durch die Ecken und die
Mittelpunkte der gegenüberliegenden Flächen verlaufen.
Drehspiegelungen
(S4):
6 Drehung um 90° kombiniert mit einer Spiegelung an einer Ebene senkrecht
zur Drehachse. Diese Achsen fallen mit den
C2-Achsen
zusammen.
Spiegelungen (σd):
6 Spiegelungen an Ebenen, die jeweils eine Kante enthalten und die
gegenüberliegende Kante halbieren.
Siehe auch
Tetraedergruppe.
Volle Oktaedergruppe
Od
Sie umfasst alle Kongruenzabbildungen, die
den Oktaeder auf sich selbst abbilden, einschließlich Spiegelungen und
Inversionen. Sie hat 48 Elemente und die Ordnung 48.
Die 48 Symmetrieoperationen teilen sich in
folgende Klassen auf:
Identität
(E):
1 Operation, die den Körper unverändert lässt.
Drehungen (C2, C3, C4) :
24 Operationen einschließlich der Identität:
Zweizählige
Drehungen (C2):
6 Drehungen um 180° um die 6 Achsen, die durch die Mittelpunkte
gegenüberliegender Kanten verlaufen.
Dreizählige
Drehungen (C3):
8 Drehungen um 120° und 240° um die 4 Achsen, die durch Flächenmittelpunkte
verlaufen.
Vierzählige
Drehungen (C4):
9 Drehungen um 90°, 180° und 270° um die 3 Achsen durch
gegenüberliegende Ecken.
Inversion (i):
1 Punktspiegelung am Mittelpunkt.
Drehspiegelungen
(S6, S4):
8 S6:
8 Drehungen um 60° kombiniert mit Spiegelung.
6 S6:
6 Drehungen um 90° kombiniert mit Spiegelung.
Spiegelungen (σh,
σd)
3
σh:
3 horizontale Spiegelebenen, parallel zu den Flächen des umschriebenen
Würfels.
6
σd:
6 diagonale Spiegelebenen, durch gegenüberliegende Kanten.
Oktaedergruppe
Diese Untergruppe enthält nur die 24
Drehungen. Sie ist isomorph zur symmetrischen Gruppe
Ikosaedergruppe Id
Die Symmetriegruppe des Ikosaeders
umfasst insgesamt 120 Symmetrieoperationen:
60 Drehsymmetrien
(Rotationssymmetrien):
Diese bilden die
Ikosaeder-Drehgruppe
60 Spiegel- und
Drehspiegelsymmetrien:
Diese entstehen durch Kombination der Drehungen mit einer Punktspiegelung
(Inversion) am Mittelpunkt.
Die
Symmetriegruppe des Ikosidodekaeder verfügt über folgende Elemente:
Identität (
15 zweizählige
Drehungen (C2):
15 Drehungen um 180° um die 15 Achsen, die durch die Mittelpunkte
gegenüberliegender Kantenpaare (insgesamt 30 Kanten) verlaufen.
10 dreizählige
Drehungen (C3):
20 Drehungen um 120° und 240° um die 10 Achsen, die durch die Mittelpunkte
der 20 Dreieckflächen verlaufen.
6 fünfzählige
Drehungen (C5):
24 Drehungen um 72°, 144°, 216° und 288° um die 6 Achsen, die durch die
Mittelpunkte der 12 Fünfeckflächen verlaufen.
15
Symmetrieebenen:
Das Polyeder kann an 15 verschiedenen Ebenen gespiegelt werden, die jeweils
durch das Zentrum verlaufen.
Inversion (
Ikosaeder-Drehgruppe I
Sie ist eine Untergruppe der
Ikosaedergruppe Id und besteht nur aus den 60
Drehungen einschließlich der Identitätsabbildung (60 = 1 + 15 + 20 + 24). |
