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1) Der Tetraederstumpf
Die Kantenlänge
des Tetraederstumpfs sei a.
Berechnung des Oberflächeninhalts
OTs des Tetraederstumpfs:
Die Oberfläche
des Tetraederstumpfs besteht aus 4 gleichseitigen Dreiecken und 4 regulären
Sechsecken.
Flächeninhalt
eines gleichseitigen Sechsecks:
6
∙ √3/4 a2
= 3√3/2 a2. OTs = 4 · √3/4 a2 + 4 · 3√3/2 a2
OTs = 7√3 a2.
Berechnung des
Volumeninhalts VTs des Tetraederstumpfs:
Vom
Volumeninhalt des umhüllenden Tetraeders zieht man den Volumeninhalt der
vier kleinen Ecktetraeder ab. Volumeninhalt des umhüllenden Tetraeders VuT = 1/12 √2 (3a)3 = 9/4 √2 a3 Volumeninhalt der vier kleinen Ecktetraeder VeT = 4 ∙ 1/12 √2 a3 = 1/3 √2 a3
Volumeninhalt VTs
des Tetraederstumpfs: VTs = 9/4 √2 a3 – 1/3 √2 a3
VTs =
23/12 √2 a3.
Berechnung des Umkugelradius R des Tetraederstumpfs:
Höhe im
gleichseitigen Dreieck h = √3/2 a
Der Schnittpunkt
der Höhen im gleichseitigen Dreieck teilt die Höhe im Verhältnis 2:1.
hT2
= h2 – (1/3 h)2
(Pythagoras)
hT2
= 8/9
∙ 3/4 a2
hT = √6/3 a
|CD| : |M1M2|
= 3 : 1 (Strahlensatz)
Daraus folgt:
|MD| : |MM1|
= 3 : 1 (Strahlensatz)
|MM1|
= 1/4 hT
u = a
(Umkreisradius des regulären Sechsecks)
hT =
3
∙ √6/3 a (Höhe
des umhüllenden Tetraeders)
R2 = a2 + (1/4 hT)2
(Pythagoras)
R2 = a2 + 1/16
∙ 6 a2 = 11/8 a2
R =
√22/4 a
Symmetrieeigenschaften des Tetraederstumpf
3
zweizählige -
4 dreizählige Drehsymmetrien
6
Symmetrieebenen: Jede Symmetrieebene enthält eine Kante des ursprünglichen Tetraeders
und halbiert die gegenüberliegende Kante.
Es gibt insgesamt 24 Symmetrieoperationen,
die die Tetraedergruppe Td
bilden. |
