10)  Der Ikosaederstumpf

Die Kantenlänge des Ikosaederstumpfs sei a.

Die Kantenlänge des umhüllenden Ikosaeders ist s = 3a.

Berechnung des Oberflächeninhalts O_Is des Ikosaederstumpfs:

Die Oberfläche des Ikosaederstumpfs besitzt 12 reguläre Fünfecke und 20 reguläre Sechsecke.

Flächeninhalt eines regulären Fünfecks = 1/4 √(25 + 10√5) a².

Flächeninhalt eines regulären Sechsecks = 3√3/2 a².

O_Is = 12 ∙ 1/4 √(25 + 10√5) a² + 20 ∙ 3√3/2 a²

O_Is = 3 (10√3 + √(25 + 10√5)) a².

Berechnung des Volumeninhalts des Ikosaederstumpfs:

Volumeninhalts des Ikosaeders:

V_I = 5/12 (3 + √5) (3a)³ = 5/12 (3 + √5) ∙ 27 a³  

V_I = 45/4 (3 + √5)

Volumeninhalts V_E einer abgeschnittenen Eckpyramide mit der Grundfläche eines regulären Fünfecks 1/4 √(25 + 10√5) a²:

Umkreisradius des Fünfecks u = 1/10 √(50 + 10√5) a

h² = a² – u²

h² = a² – 1/10 (5 + √5) a²

h² = 1/10 (5 – √5) a²

h = 1/10 √(50 – 10√5) a

V_E = 1/3 ∙ 1/4 √(25 + 10√5) a² ∙ 1/10 √(50 – 10√5) a

V_E = 1/24 (5 + √5) a³

Volumeninhalt V_Is des Ikosaederstumpfs:

V_Is = 45/4 (3 + √5) a³ – 12 ∙ 1/24 (5 + √5) a³

V_Is = 1/4 (125 + 43√5) a³

Umkugelradius R des Ikosaederstumpfs:

Umkugelradius des Ikosaeders:

R_I = 1/4 √(10 + 2√5) s = 3/4 √(10 + 2√5) a

R² = (R_I – h)² + u²

R² = (3/4 √(10 + 2√5)  – 1/10 √(50 – 10√5)² a² + 1/10 (5 + √5) a²

R² = 1/8 (29 + 9√5) a²

R = 1/4 √(58 + 18√5) a

Symmetrieeigenschaften des Ikosaederstumpfs

Bei der Drehsymmetrie (Rotationssymmetrie) wird der Körper senkrecht von oben in Richtung der Drehachse (Rotationsachse ) betrachtet.

      15 zweizählige -             10 dreizählige -       6 fünfzählige Drehsymmetrien

Es gibt 15 Symmetrieebenen und eine Punktspiegelung am Mittelpunkt des Körpers.

Die Symmetriegruppe des Ikosaederstumpfs, die Ikosaedergruppe I_h umfasst 120 Symmetrieoperationen

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