11)  Das Rhombenikosidodekaeder

Die Kantenlänge des Rhombenikosidodekaeders sei a. 

Berechnung des Oberflächeninhalts O_Rid des Rhombenikosidodekaeders:

Die Oberfläche des Rhombenikosidodekaeders besitzt 20 gleichseitige Dreiecke, 30 Quadrate und 12 reguläre Fünfecke.

Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks = √3/4 a².

Flächeninhalt eines regulären Fünfecks = 1/4 √(25 + 10√5) a².

O_Rid = 20 ∙ √3/4 a² + 30 a² + 12 ∙ 1/4 √(25 + 10√5) a².

O_Rid = (30 + 5√3 + 3√(25 + 10√5)) a².

Berechnung des Volumeninhalts des Rhombenikosidodekaeders:

Verbindet man alle Ecken des Rhombenikosidodekaeders mit seinem Mittelpunkt, so lässt sich sein Volumen in 62 Pyramiden zerlegen, deren Grundflächen 20 gleichseitige Dreiecke (3), 30 Quadrate (4) und 12 reguläre Fünfecke (5) sind.

Gesamtvolumen V_Rid = 20 V₃ + 30 V₄ + 12 V₅

Berechnung des Umkugelradius R des Rhombenikosidodekaeders:

Senkrechter Schnitt durch die Mitte und Spitze eines regulären Fünfecks und durch den Mittelpunkt des Rhombenikosidodekaeders mit Projektion der Seitenflächen.

Raute mit Diagonalen a und σa mit dem Winkel zwischen
benachbarten Flächen eines Dodekaeders von 135° – arctan(1/3) ≈ 116,565°.

x² = ((√5 – 1)/4)² a² + (a/2)²

x² = 1/8 (5 – √5) a²

x = 1/4 √(10 – 2√5) a

s / a = (x + r₅) / r₅  (Strahlensatz)

s / a = (1/4 √(10 – 2√5) a + 1/10 √(25 + 10√5) a) / (1/10 √(25 + 10√5) a)

s / a = 3/2 (√5 – 1)

s = 3/2 (√5 – 1) a   oder  s = 3σ a (σ = (√5 – 1)/2, goldene Schnittzahl)

  Inkugelradius des umhüllenden Dodekaeders:

h₅ = r_D = 1/20 √(250 +110√5) s

h₅ = 1/20 √(250 +110√5) ∙ 3/2 (√5 – 1) a    

h₅ = 3/10 √(25 +10√5) a

R² = h₅² + u₅² 

R² = 9/100 (25 +10√5) a² + 1/10 (5 + √5) a²  

R² =  (11/4 + √5) a²  

R = 1/2 √(11 + 4√5) a

20 Dreieckspyramiden mit der Höhe h₃:

Flächeninhalt des gleichseitiges Dreiecks A₃= √3/4 a²

Umkreisradius des gleichseitiges Dreiecks u₃ = √3/3 a

h₃² = R² – u₃²  (Pythagoras)

h₃² = 1/4 (11 + 4√5) a² –  1/3 a²

h₃² = (29/12 + √5) a²

h₃ = (√3/2 + √15/3) a

Volumeninhalt einer Dreieckspyramide:

V₃ = 1/3 ∙ √3/4 a² ∙ (√3/2 + √15/3) a

V₃ = (1/8 + √5/12) a³

30 Quadratpyramiden mit der Höhe h₄:

Umkreisradius des Quadrats u₄ = √2/2 a

h₄² = R² – u₄²

h₄² = 1/4 (11 + 4√5) a² – 1/2 a²

h₄² = (9/4 + √5) a²

h₄ = (1 + √5/2) a

Volumeninhalt einer Quadratpyramide:

V₄ = 1/3 ∙ a² ∙ (1 + √5/2) a

V₄ = 1/3 (1 + √5/2) a³

12 Fünfeckpyramiden mit der Höhe h₅:

h₅ = 3/10 √(25 + 10√5) a  (s. Herleitung von R)

Volumeninhalt einer Fünfeckpyramide:

V₅ = 1/3 ∙ 1/4 √(25 + 10√5) a² ∙ 3/10 √(25 + 10√5) a

V₅ = 1/8 (5 + 2√5) a³ 

Volumeninhalts V_Rid des Rhombenikosidodekaeders:

V_Rid = 20 V₃ + 30 V₄ + 12 V₅

V_Rid = 20 ∙ (1/8 + √5/12) a³ + 30 ∙ 1/3 (1 + √5/2) a³ + 12 ∙ 1/8 (5 + 2√5) a³ 

V_Rid = 1/3 (60 + 29√5) a³

Symmetrieeigenschaften des Rhombenikosidodekaeders

Bei der Drehsymmetrie (Rotationssymmetrie) wird der Körper senkrecht von oben in Richtung der Drehachse (Rotationsachse ) betrachtet.

      15 zweizählige -              10 dreizählige -     6 fünfzählige Drehsymmetrien

Es gibt 15 Symmetrieebenen und eine Punktspiegelung am Mittelpunkt des Körpers.

Die Symmetriegruppe des Rhombenikosidodekaeders, die Ikosaedergruppe I_h umfasst 120 Symmetrieoperationen.

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