12)  Der Ikosidodekaederstumpf

Die Kantenlänge des Ikosidodekaederstumpfs sei a.  

Berechnung des Oberflächeninhalts O_Ids des Ikosidodekaederstumpf:

Die Oberfläche des Ikosidodekaederstumpfs besitzt 30 Quadrate, 20 reguläre Sechsecke und 12 reguläre Zehnecke.

Flächeninhalt eines regulären Sechsecks = 3√3/2 a².

Flächeninhalt eines regulären Zehnecks = 5/2 √(5 + 2√5) a².

O_Ids = 30 a² + 20 ∙ 3√3/2 a² + 12 ∙ 5/2 √(5 + 2√5) a²

O_Ids = 30 (1 + √3 + √(5 + 2√5)) a²

Berechnung des Volumeninhalts V_Ids des Ikosidodekaederstumpfs:

Verbindet man alle Ecken des Ikosidodekaederstumpfs mit seinem Mittelpunkt, so lässt sich sein Volumen in 62 Pyramiden zerlegen, deren Grundflächen 30 Quadrate (4), 20 reguläre Sechsecke (6) und 12 reguläre Zehnecke (10) sind.

Gesamtvolumen V_Ids = 30 V₄ + 20 V₆ + 12 V₁₀.

Berechnung des Umkugelradius des Ikosidodekaederstumpfs:

Senkrechter Schnitt durch die Mitte und Spitze eines regulären Fünfecks und durch den Mittelpunkt des Ikosidodekaederstumpfs mit Projektion der Seitenflächen.

 Raute mit Diagonalen a und σa mit dem Winkel zwischen
benachbarten Flächen eines Dodekaeders von 135° – arctan(1/3) ≈ 116,565°.

x² = ((√5 – 1)/4)² a² + (a/2)²

x² = 1/8 (5 – √5) a²

x = 1/4 √(10 – 2√5) a

Ansicht von oben

u₅² = (s/2) ² + (x +r₁₀)²  (Pythagoras)

(1/10 √(50 + 10√5)² s² = (s/2)² + (1/4 √(10 – 2√5) a + 1/2 √(5 + 2√5) ² a²

(1/10 (5 + √5)) s² = 1/4 s² + ((5/8 (5 + √5)) a²

(1/4 + √5/10) s²  = ((5/8 (5 + √5)) a²

s² / a²  = 25/2 (3 – √5)

s / a = 5/2 (√5 – 1)

s = 5 ∙ (√5 – 1)/2 a = 5σ a  (σ = (√5 – 1)/2,  goldene Schnittzahl)

Inkugelradius des umhüllenden Dodekaeders:

h₁₀ = r_D = 1/20 √(250 +110√5) s

h₁₀ = 1/20 √(250 +110√5) ∙ 5/2 (√5 – 1) a    

h₁₀ = 1/2 √(25 +10√5) a

R² = h₁₀² + u₁₀² 

R² = 1/4 (25 +10√5) a² + 1/4 (1 + √5)² a²

R² = (31/4 + 35) a²

R = 1/2 √(31 + 12√5) a

30 Quadratpyramiden mit der Höhe h₄:

Umkreisradius des Quadrats u₄ = √2/2 a

h₄² = R² – u₄²

h₄² = 1/4 (31 + 12√5) a² – 1/2 a²

h₄² = (29/4 + 3√5) a²

h₄ = √(29/4 + 3√5) a

Volumeninhalt einer Quadratpyramide:

V₄ = 1/3 ∙ a² ∙ √(29/4 + 3√5) a

V₄ = 1/3 √(29/4 + 3√5) a³ 

20 Sechseckpyramiden mit der Höhe h₆:

Flächeninhalt des regulären Sechsecks

A₆= 3/2 √3 a²

Umkreisradius des regulären Sechsecks u₆ = a

h₆² = R² – u₆²

h₆² = 1/4 (31 + 12√5) a² – a²

h₆² = 1/4 (27 + 12√5) a²

h₆ = 1/2 √(27 + 12√5) a

Volumeninhalt einer Sechseckpyramide:

V₆ = 1/3 ∙ 3/2 √3 a² ∙ 1/2 √(27 + 12√5) a

V₆ = 3/4 ∙ (2 + √5) a³ 

12 Zehneckpyramiden mit der Höhe h₁₀:

h₁₀ = 1/2 √(25 +10√5) a  (s. Herleitung von R)

Volumeninhalt einer Zehneckpyramide:

V₁₀ = 1/3 ∙ 5/2 √(5 + 2√5) a² ∙ 1/2 √(25 + 10√5) a

V₁₀ = 1/12 (50 + 25√5) a³  

Volumeninhalt V_Ids des Ikosidodekaederstumpfs:

V_Ids = 30 V₄ + 20 V₆ + 12 V₁₀

V_Ids = 30 ∙ 1/3 √(29/4 + 3√5) a³ + 20 ∙3/4 ∙ (2 + √5) a³ + 12 ∙ 1/12 (50 + 25√5) a³  

V_Ids = 10 √(29/4 + 3√5) a³ + (80 + 40√5) a³

V_Ids = 5 (19 + 10√5) a³

Symmetrieeigenschaften des Ikosidodekaederstumpfs

Bei der Drehsymmetrie (Rotationssymmetrie) wird der Körper senkrecht von oben in Richtung der Rotationsachse betrachtet.

     15 zweizählige -              10 dreizählige -      6 fünfzählige Drehsymmetrien

Es gibt 15 Symmetrieebenen und eine Punktspiegelung am Mittelpunkt des Körpers.
Die Symmetriegruppe des Ikosidodekaederstumpfs, die Ikosaedergruppe I_h umfasst 120 Symmetrieoperationen.

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