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4) Der Oktaederstumpf
Die Kantenlänge
des
Oktaederstumpfs
sei a.
Die Kantenlänge
des umhüllenden
Oktaeders
ist 3a.
Berechnung des
Oberflächeninhalts
OOs des Oktaederstumpfs:
Die Oberfläche
des Oktaederstumpfs besteht aus 6 Quadraten und 8 regulären Sechsecken.
Flächeninhalt
eines Quadrats = a2.
Flächeninhalt
eines gleichseitigen Sechsecks =
6
∙ √3/4 a2
= 3√3/2 a2.
OOs =
6 a2 + 8∙3√3/2
a2
OOs =
6 (1 + 2√3) a2.
Berechnung des
Volumeninhalts VOs des Oktaederstumpfs:
Vom
Volumeninhalt des umhüllenden Oktaeders zieht man den Volumeninhalt der
sechs kleinen quadratischen Eckpyramiden ab.
Volumeninhalt
des umhüllenden Oktaeders mit der Seitenlänge 3a: √2/3 (3a)3 =
9√2 a3.
Berechnung des Volumeninhalts einer abgeschnittenen quadratischen
Eckpyramide:
Diagonale des Quadrats: √2 a (Pythagoras)
h2 = a2 – (√2/2)2 a2
(Pythagoras)
h = √2/2 a
V = 1/3
∙ a2
∙
√2/2 a = √2/6 a3
Volumeninhalts VOs des Oktaederstumpfs:
VOs = 9√2 a3 – 6∙√2/6 a3
VOs = 8√2 a3 Berechnung des Umkugelradius R des Oktaederstumpfs:
h2 =
s2 – (√2/2)2
s2
h2 =
9 a2 – 1/2 ∙ 9 a2 = 9/2 a2
h = 3/2
√2 a
R2 =
(2/3 h)2 + (d/2)2
(Strahlensatz und Diagonale im Quadrat)
R2 =
4/9 ∙ 9/2 a2 + 1/2 a2
R = 1/2
√10 a
Symmetrieeigenschaften des Oktaederstumpf
6 zweizählige -
4 dreizählige -
3 vierzählige Drehsymmetrien
9 Symmetrieebenen: 3 Symmetrieebenen liegen parallel zu den Quadratflächen, 6 Symmetrieebenen verlaufen diagonal durch den Körper. Es gibt eine Punktspiegelung am Mittelpunkt des Körpers und 2 Drehspiegelachsen.
Es gibt insgesamt 48 Symmetrieoperationen (24
Drehungen, 24 Spiegelungen und Inversion an der Inkugel), die die
volle
Oktaedergruppe Oh
bilden. |
