5)  Das Rhombenkuboktaeder

Die Kantenlänge des Rhombenkuboktaeders sei a.

Die Kantenlänge des umhüllenden Würfels sei s.

s = a + 2∙√2/2 a

s = (1 + √2) a

Berechnung des Oberflächeninhalts O_Rko des Rhombenkuboktaeders:

Die Oberfläche des Rhombenkuboktaeders besteht aus 8 gleichseitigen Dreiecken und 18 Quadraten.

Flächeninhalt eines Quadrats: a².

Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks: √3/4 a².

O_Rko = 18∙ a² + 8∙√3/4 a²

O_Rko = (18 + 2√3) a².

Berechnung des Volumeninhalts des Rhombenkuboktaeders:

Vom Volumeninhalt des umhüllenden Würfels zieht man den Volumeninhalt von 8 kleinen Eckkörpern und 12 dreieckigen Prismen ab.

Volumeninhalt des umhüllenden Würfels: (1 + √2)³ a³ = (7 + 5√2) a³.

Volumeninhalt eines dreieckigen Prismas: 1/2 (√2/2 a)(√2/2 a) ∙ a = 1/4 a³.

Volumeninhalt des Eckkörpers = Volumeninhalt eines Würfels minus Volumeninhalt einer dreieckige Pyramide:

(√2/2 a) ³ – 1/3 ∙ 1/4 a² ∙ √2/2 a = √2/4 a³ – √2/24 a³ = 5/24 √2 a³

Volumeninhalt V_Rko des Rhombenkuboktaeders:

(√2/2 a) ³ – √2/24 a³ = √2/4 a³ – √2/24 a³ = 

V_Rko = (7 + 5√2) a³ – 12 ∙ 1/4 a³ – 8∙5/24 √2 a³

V_Rko = (4 + 10/3 √2) a³ = 2/3 (6 + 5√2) a³

Berechnung des Umkugelradius R des Rhombenkuboktaeders:

R² = (s/2)² + (d/2)²  (d = Diagonale im Quadrat)

R² = 1/4 (1 + √2) ² a² + 1/2 a²

R² = 5/4 + √2/2

R = 1/2 √(5 + 2√2) a

Symmetrieeigenschaften des Rhombenkuboktaeder

Bei der Drehsymmetrie (Rotationssymmetrie) wird der Körper senkrecht von oben in Richtung der Drehachse (Rotationsachse ) betrachtet.

    6 zweizählige -             4 dreizählige -       3 vierzählige Drehsymmetrien

9 Symmetrieebenen: 3 Symmetrieebenen stehen senkrecht zu den vierfachen Drehachsen, 6 Symmetrieebenen verlaufen diagonal durch den Körper. Es gibt eine Punktspiegelung am Mittelpunkt des Körpers und 2 Drehspiegelachsen.

Es gibt insgesamt 48 Symmetrieoperationen (24 Drehungen, 24 Spiegelungen und Inversion an der Inkugel), die die volle Oktaedergruppe O_h bilden.

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