6)  Der Kuboktaederstumpf

Berechnung des Oberflächeninhalts O_Kos des Kuboktaederstumpfs:

Die Oberfläche des Kuboktaederstumpfs besteht aus 12 Quadraten, 8 regulären Sechsecken und 6 regulären Achtecken.

Flächeninhalt eines Quadrats: a²

Flächeninhalt eines Sechsecks: 3/2 √3 a²

Flächeninhalt eines Achtecks: 2 (1 + √2) a²

O_Kos = 12 a² + 8 ∙ 3/2 √3 a² + 6 ∙ 2 (1 + √2) a² = (24 + 12√2 + 12√3) a²

O_Kos = 12 (2 + √2 + √3) a²

Berechnung des Volumeninhalts des Kuboktaederstumpfs:

Zur Herleitung des Volumeninhalts des Kuboktaederstumpfs wird der Körper in Pyramiden mit Spitze im Mittelpunkt zerlegt, deren Grundflächen Quadrate, Sechsecke und Achtecke sind.

Die 12 Quadratpyramiden mit Höhe h₄:

Die Seitenlänge des Würfels beträgt (1 + 2√2) a.

x² + x² = (1 + 2√2)² a²  (Pythagoras)

x = 1/2 (4 + √2) a

h₄ = 1/2 (4 + √2) a – 1/2 a

h₄ = 1/2 (3 + √2) a

Volumeninhalt V₄ der 12 Pyramiden mit quadratischer Grundfläche:

V₄ = 12 ∙ 1/3 ∙ a² ∙ 1/2 (3 + √2) a

V₄ = (6 + 2√2) a³

Die 8 Sechseckpyramiden mit Höhe h₆:

x² = 1/4 (3 + √2)² a² + 1/2 a²

x² = (3/2 √2 + 13/4) a²

x = 1/2 √(13 + 6√2) a

h₆² = x² – a²

h₆² = (3/2 √2 + 13/4) a² – a²

h₆² = (3/2 √2 + 9/4) a²

h₆ = 1/2 (√3 + √6)

Volumeninhalt V₆ der 8 Pyramiden mit sechseckiger Grundfläche:

V₆ = 8 ∙ 1/3 ∙ 3/2 √3 a² ∙ 1/2 (√3 + √6) a

V₆ = 2 √3 (√3 + √6) a³  = (6 + 6√2) a³

Die 6 Achteckpyramiden mit Höhe h₈:

h₈ = 1/2 (1 + 2√2) a

Achteckige Grundfläche: 2 (1 + √2) a²

Volumeninhalt V₈ der 6 Pyramiden mit achteckiger Grundfläche:

V₈ = 6 ∙ 1/3 ∙ 2 (1 + √2) a² ∙ 1/2 (1 + 2√2) a

V₈ = (10 + 6√2) a³

Gesamter Volumeninhalt V_Kos des Kuboktaederstumpfs:

V_Kos = (6 + 2√2) a³ + (6 + 6√2) a³ + (10 + 6√2) a³

V_Kos = 2 (11 + 7√2) a³

Berechnung des Umkugelradius R des Kuboktaederstumpfs:

R² = h₆² + a²

R² = 1/4 (√3 + √6)² a² + a²

R² = (3/2 √2 + 13/4) a²

R = 1/2 √(13 + 6√2) a

Symmetrieeigenschaften des Kuboktaederstumpfs