8)  Das Ikosidodekaeder

Die Kantenlänge des Ikosidodekaeders sei a.

Die Kantenlänge des umhüllenden Dodekaeders sei s.

Berechnung des Oberflächeninhalts O_Id des Ikosidodekaeders:

Die Oberfläche des Ikosidodekaeders besitzt 20 gleichseitige Dreiecke und 12 reguläre Fünfecke.

Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks = √3/4 a².

Flächeninhalt eines regulären Fünfecks = 1/4 √(25 + 10√5) a².

O_Id = 20 ∙ √3/4 a² + 12 ∙ 1/4 √(25 + 10√5) a²

O_Id = (5√3 + 3√(25 + 10·√5)) a²

Berechnung des Volumeninhalts des Ikosidodekaeders:

Das Gesamtvolumen entsteht durch die Addition von 32 einzelnen Pyramidenvolumina, mit den 20 Dreiecken und 12 Fünfecken jeweils als Grundfläche und dem Mittelpunkt des Ikosidodekaeders als Spitze.

Die 20 Dreieckspyramiden mit der Höhe h₃:

(a2) / (s/2) =  cos(36°)

a/s = 1/4 (1 + √5)

s = 4a / (1 + √5)

s = (√5 – 1) a

Umkugelradius des Dodekaeders:

R_D = 1/4 (√3 + √15) s = 1/4 (√3 + √15) (√5 – 1) a

R_D = √3 a

Umkugelradius des Ikosidodekaeders:

R² = R_D² – (s/2)²  (Pythagoras)

R² = 3 a² – ((√5 – 1)/2)² a²  

R² = 1/2 (3 + √5) a²  

R = 1/2 (1 + √5) a

Umkreisradius des gleichseitigen Dreiecks:

p = √3/3 a

h₃² =  R² – p²

h₃² =  1/2 (3 + √5) a² – 1/3 a²

h₃² =  1/2 (7/3 + √5) a²

h₃ =  (√3/2 + √15/6) a

Volumeninhalt V₃ der 20 Pyramiden mit dreieckiger Grundfläche √3/4 a²:

V₃ = 20 ∙ 1/3 ∙ √3/4 a² ∙ (√3/2 + √15/6) a

V₃ = 1/6 (15 + 5√5) a³

Die 12 Fünfeckspyramiden mit der Höhe h₅:

Umkreisradius des regulären Fünfecks:

q = 1/10 √(50 + 10√5) a

h₅² = R² – q²

h₅² = 1/2 (3 + √5) a² – 1/100 (50 + 10√5) a²

h₅² = (1 + 2/5 √5) a²

h₅ = 1/5 √(25 + 10√5) a

Volumeninhalt V₅ der 12 Pyramiden mit fünfeckiger Grundfläche 1/4 √(25 + 10√5) a²:

V₅ = 12 ∙ 1/3 ∙1/4 √(25 + 10√5) a² ∙ 1/5 √(25 + 10√5) a

V₅ = (5 + 2√5) a³  

Volumeninhalts des Ikosidodekaeders:

V = V₃ + V₅ = 1/6 (15 + 5√5) a³ + (5 + 2√5) a³  

V = 1/6 (45 + 17√5) a³  

Symmetrieeigenschaften des Ikosidodekaeders

Bei der Drehsymmetrie (Rotationssymmetrie) wird der Körper senkrecht von oben in Richtung der Drehachse (Rotationsachse ) betrachtet.

      6 zweizählige -             4 dreizählige -       3 vierzählige Drehsymmetrien

Es gibt 15 Symmetrieebenen und eine Punktspiegelung am Mittelpunkt des Körpers.
Die Symmetriegruppe des Ikosidodekaeders, die Ikosaedergruppe I_h umfasst 120 Symmetrieoperationen.

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