9)  Der Dodekaederstumpf

 Die Kantenlänge des Dodekaederstumpfs sei a.

Die Kantenlänge des umhüllenden Dodekaeders sei s.

Berechnung des Oberflächeninhalts O_Ds des Dodekaederstumpfs:

Die Oberfläche des Dodekaederstumpfs besitzt 20 gleichseitige Dreiecke und 12 reguläre Zehnecke.

Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks = √3/4 a².

Flächeninhalt eines regulären Zehnecks = 5/2 √(5 + 2√5) a².

O_Ds = 20 ∙ √3/4 a² + 12 ∙ 5/2 √(5 + 2√5) a².

O_Ds = 5 (√3 + 6√(5 + 2√5)) a².

Berechnung des Volumeninhalts des Dodekaederstumpfs:

(a/2) / x = cos(36°);    cos(36°) = 1/4 (1 + √5)

x = 2a / (1 + √5)

x = 1/2 (√5 – 1) a

s = 2x + a

s = √5 a

Volumeninhalt des Dodekaeders mit der Seitenlänge s = √5 a:

V_D = 1/4 (15 + 7√5) 5√5 a³ 

V_D = 1/4 (175 + 75√5) a³ 

Berechnung des Volumeninhalts V_E einer abgeschnittenen Eckpyramide:

Grundfläche A₃ ist gleichseitiges Dreieck mit A₃ = √3/4 a²:

y² = 1/4 (√5 – 1)² a² – 3/9 a²  (Pythagoras)

y² = (7/6 – √5/2) a²

y = (√3/2 – √15/6) a

V_E = 1/3 ∙ √3/4 a² ∙ (√3/2 – √15/6) a

V_E = 1/24 (3 – √5) a³ 

Volumeninhalt V_Ds des Dodekaederstumpfs:

V_D = 1/4 (15 + 7√5) s³ = 1/4 (15 + 7√5) 5√5 a³ = 1/4 (175 + 75√5) a³

V_Ds = V_D – 20 ∙ V_E

V_Ds = 1/4 (175 + 75√5) a³ – 20/24 (3 – √5) a³ 

V_Ds = 1/12 (495 + 235√5) a³ 

V_Ds = 5/12 (99 + 47√5) a³ 

Umkugelradius R des Dodekaederstumpfs:

q = 2/3 der Höhe √3/2 a im gleichseitigen Dreieck: q = √3/3 a

R_D = Umkugelradius des umhüllenden Dodekaeders mit Seitenlänge s

R_D = 1/4 (√3 + √15) s = 1/4 (√3 + √15) ∙ √5 a

R_D = 1/4 (5√3 + √15) a

R_D – y = 1/4 (5√3 + √15) a – (√3/2 – √15/6) a

R_D – y = 1/12 (9√3 + 5√15) a

R² = (R_D – y)² + q²

R² = 1/144 (9√3 + 5√15)² a² + 1/3 a²

R² = 1/8 (37 + 15√5) a²

R = 1/4 √(74 + 30√5) a

Symmetrieeigenschaften des Dodekaederstumpfs

Bei der Drehsymmetrie (Rotationssymmetrie) wird der Körper senkrecht von oben in Richtung der Drehachse (Rotationsachse ) betrachtet.

      15 zweizählige -             10 dreizählige -       6 fünfzählige Drehsymmetrien

Es gibt 15 Symmetrieebenen und eine Punktspiegelung am Mittelpunkt des Körpers.
Die Symmetriegruppe des Dodekaederstumpfs, die Ikosaedergruppe I_h umfasst 120 Symmetrieoperationen.

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