Berechnung der Verhältnisse der Volumeninhalte der Dualkörper und weiterer ineinander geschachtelter platonischer Körper.

Volumenverhältnisse von Dualkörpern

Volumeninhalt V₁ des großen Tetraeders mit der Kantenlänge a:

V₁ = 1/12 √2 a³

Volumeninhalt V₂ des kleinen Tetraeders mit der Kantenlänge b:

b = 1/3 a (Strahlensatz)

V₂ = 1/12 √2 (1/3 a)³ = 1/27 V₁

Volumenverhältnis kleiner zu großem Tetraeder V₂ : V₁ = 1 : 27

Volumeninhalt V_H des Hexaeders mit der Kantenlänge a:

V_H = a³

Volumeninhalt V_O des Oktaeders mit der Kantenlänge b:

d² = a² + a² (Pythagoras)

d = √2 a
b = d/2 (Strahlensatz);  b = a √2/2:

V_O = 1/3 √2 b³ = 1/3 √2 (a/√2)³ = 1/6 a³

Volumenverhältnis Oktaeders zu Hexaeder V_O : V_H = 1 : 6

Volumeninhalt V_O des Oktaeders mit der Kantenlänge a:

V_O = 1/3 √2 a³

Volumeninhalt V_H des Hexaeders mit der Kantenlänge b:

d = √2 a   

b / d/2 = 2/3 (Strahlensatz)   b = 2/3 ·√2/2 a

V_H = (√2/3 a)³ = 2/27 √2 a³

V_H / V_O =  2/27 √2 / (1/3 √2)

Volumenverhältnis Hexaeder zu Oktaeder V_H : V_O = 2 : 9

 Berechnung des Verhältnisses des Volumeninhalts V_I des Ikosaeders mit der Kantenlänge b zum Volumeninhalt V_D des Dodekaeders
mit der Kantenlänge a:

b² = r_i² + r_i² – 2 r_i² cos β (Kosinussatz), wobei gilt:

r_i = 1/10 √(25 + 10√5) a (Inkreisradius des regulären Fünfecks)
β  = 135° – arctan(1/3) ≈ 116,565° (Winkel zwischen benachbarten Flächen des Dodekaeders)

Daraus folgt:

b = √2/10 √(25 + 10√5) √(1 – cos(135° – arctan(1/3))) a

b ≈ 1,1708 a

 V_I = 5/12 (3 + √5) b³, mit b eingesetzt:

V_I ≈ 3,502 a³

V_D = 1/4 (15 + 7√5) a³ ≈ 7,663 a³

Volumenverhältnis Ikosaeder zu Dodekaeder V_I : V_D ≈ 0,457

Berechnung des Verhältnisses des Volumeninhalts V_D des Dodekaeders mit der Kantenlänge b zum Volumeninhalt V_I des Ikosaeders
mit der Kantenlänge a:

b² = r_i² + r_i² – 2 r_i² cos(β)  (Kosinussatz), β = Winkel zwischen benachbarten Flächen des Ikosaeders

b² = 1/6 (1 – cos(138,19°) a² ≈ 0,2909 a²

b ≈ 0,539 a

Volumeninhalt V_I des Ikosaeders V_I ≈ 2,182 a³

Volumeninhalt V_D des Dodekaeders V_D ≈ 7,663 b³ ≈ 7,663·0,539³ a³ ≈ 1,200 a³

Volumenverhältnis Dodekaeder zu Ikosaeder  V_D : V_I ≈ 0,550

Volumenverhältnisse weiterer ineinander geschachtelter platonischer Körper

Oktaeder in Tetraeder       

Volumeninhalt V_T des Tetraeders mit der Kantenlänge a:

V_O = 1/12 √2 a³

Volumeninhalt V_O des Oktaeders mit der Kantenlänge a/2:

V_O = 1/3 √2 (a/2)³ = 1/24 √2 a³

Volumenverhältnis Oktaeder zu Tetraeder V_O : V_T = 1 : 2          

Tetraeder in Hexaeder

Volumeninhalt V_H des Hexaeders mit der Kantenlänge a:

V_H = a³

Volumeninhalt V_T des Tetraeders mit der Kantenlänge a √2:

V_T = 1/12 √2 (a √2)³ = 1/3 a³

Volumenverhältnis Tetraeder zu Hexaeder  V_T : V_H = 1 : 3

Hexaeder in Oktaeder

b² = 2x² – 2x² cos(60°)  (Kosinussatz)

b² = x²;   b = x
b² = 2y² – 2y² cos(90°)  (Kosinussatz)

b² = 2y²;  b = y √2

Daraus folgt: x = y √2

x + y = a;  x + x/√2 = a

x = a (2 – √2); b = a (2 - √2)

V_H = (2 – √2)³ a³ = (20 - 14√2) a³

V_O = 1/3 √2 a³

V_H / V_O = (20 – 14√2) / (1/3 √2) = 30√2 – 42 ≈ 0,428

Volumenverhältnis Hexaeder zu Oktaeder  V_O : V_H ≈ 0,428

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