Großes Dodekaeder und Großes Ikosaeder

Hier werden zwei weitere von vier der sogenannten Kepler-Poinsot-Körper vorgestellt, die eine Gruppe regulärer, nicht-konvexer Polyeder (Polyedersternen) bilden.

Das Große Dodekaeder

Das Große Dodekaeder (Sterndodekaeder) besteht aus 12 sich gegenseitig durchdringenden Pentagrammen in einem Ikosaeder. Es besitzt 32 Ecken, 90 Kanten, 60 Flächen. Es gilt die Eulersche Polyederformel: e + f = k + 2, hier: 32 + 60 = 90 + 2.

Eine Dreiecksfläche des Ikosaeders ist unterteilt in 3 Flächen, von denen jede zusätzlich 3 Kanten und 1 Ecke besitzt.

Sein Hüllkörper ist das Ikosaeder.

Berechnung des Volumeninhalts V des Großen Dodekaeders:

Volumeninalt V_I  des umhüllenden Ikosaeders mit der Kantenlänge a:  V_I = 5/12 (3 + √5) a³.

Davon ist der Volumeninhalt von 20 dreiseitigen Pyramiden abzuziehen.

△ABD ist ähnlich zu △TAB. Daraus folgt:

(d – a) / a = d / a

d² – ad – a² = 0

d = (1 + √5)/2 a = τ a

d – a = (√5 – 1)/2 a = σ a  (σ und τ sind goldene Schnittzahlen)

h² = (σ a)² – (2/3 h_d)² mit h_d = a/2 √3

h² = (√5 – 1)²/4 a² – (√3/3)² a²

h² = 7/6 – √5/2

h = √3/2 – √15/2

Volumeninhalt V_P der Pyramide mit dem Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks A = √3/4 a²:

V_P = 1/3· √3/4 a² · (√3/2 – √15/2) a

V_P = 1/24 (3 – √5) a³

Volumeninhalt V des Großen Dodekaeders:

V = V_I – 20 · V_P = 5/12 (3 + √5) a³ – 5/6 (3 – √5) a³ = 1/4 (5√5 – 5) a³

Volumeninhalt des Großen Dodekaeders V = 5/4 (√5 – 1) a³ = 5/2 σ a³ ≈ 1,545 a³

Berechnung des Oberflächeninhalts O des Großen Dodekaeders:

Flächeninhalt A_d eines gleichschenkligen Dreiecks mit den Seiten a und σ a:

h_a² = (σ a)² – (a/2)² = (√5 – 1)²/4 a² – 1/4 a²

h_a² = 1/4 (5 – 2√5) a²

h = 1/2 √(5 – 2√5) a

A_d = 1/2 a h = 1/4 √(5 – 2√5) a²

O = 60 · A_d

Oberflächeninhalt des Großen Dodekaeders

Das Große Ikosaeder

Das Große Ikosaeder besteht aus 20 sich gegenseitig durchdringenden gleichseitigen Dreiecken in einem Dodekaederstern. Es besitzt 92 Ecken, 270 Kanten, 180 Flächen. Es gilt die Eulersche Polyederformel: e + f = k + 2, hier:  92 + 180 = 270 + 2.

Sein Hüllkörper ist das Ikosaeder.

Berechnung des ungefähren Volumeninhalts V des Großen Ikosaeders mit Hilfe von Geogebra:

Volumeninhalt V_DS  des Dodekaedersterns mit der Kantenlänge a:

V_DS = 1/4 (35 + 15√5) a³.

Davon ist der Volumeninhalt von 60 = 5·12 dreiseitigen Pyramiden abzuziehen.

Die Kantenlänge des Dodekaeders ist a.

Flächeninhalt A_d des gleichschenkligen Grunddreiecks der Pyramide mit Grundseite a:

A_d ≈ 0,7746/4 a² = 0,1937 a²

Volumeninhalt V_P der dreiseitigen Pyramide:

V_P = 1/3 A_d h ≈ 1/3 · 0,1937 · 3.023/2 a³

V_P ≈ 0,0976 a³

60 V_P ≈ 5.854 a³

Gesamtvolumeninhalt V = V_DS – 60 V_P ≈ 1/4 (35 + 15√5) a³ – 5.854 a³ = 11,28 a³

Volumeninhalt des Großen Ikosaeders V ≈ 11,28 a³

Berechnung des ungefähren Oberflächeninhalts O des Großen Ikosaeders:

Flächeninhalt A_s des seitlichen Dreiecks der Pyramide:

A_s ≈ 2,0279/4 a² = 0,507 a²

Flächeninhalt A_P der offenen dreiseitigen Pyramide:

A_P = A_d + 2· A_s ≈ 0,1937 a² + 1,014 a² = 1,208 a²

O = 60 A_P ≈ 72,46 a²

Flächeninhalt des Großen Ikosaeders O ≈ 72,46 a²

Die exakte Berechnung (s. Great Icosahedron -- from Wolfram MathWorld) liefert:

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