Geschichte mit den Reiskörnern

Diese Aufgabe gibt es in vielen Variationen. Eine davon ist folgende:

Um 880 n. Chr. regiert in Indien die Königin Hawsin. Sie verdankt dem Weisen Quaflon - dem angeblichen Erfinder des Schachspiels - die Rettung ihres Sohnes. Von seiner Tat und seiner Klugheit beeindruckt, will sie ihm einen Wunsch erfüllen.

Quaflon hat folgenden Wunsch:
"Ich bitte Sie mir Getreide zu geben entsprechend der Zahl der Felder (64) des Schachbretts u.z. so: Auf das 1. Feld ein Korn, auf das 2. Feld zwei Körner und dann jeweils auf das nächste Feld die doppelte Anzahl von Körnern."

Lösung.

Anzahl der gesamten Reiskörner: 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2⁶³ 

Dies ist die geometrische Reihe 1 + q + q² + q³ + … + qⁿ  = (qⁿ⁺¹ – 1)/(q – 1)  mit  q = 2 und n = 63.

1 + 2 + 4 + 8 + … + 2⁶³  = 2⁶⁴ – 1 = 18 446 744 073 709 551 615 ≈ 18٠10¹⁸  (18 Trillionen).

Die Anzahl der Reiskörner nimmt exponentiell zu.

Wie viel Tonnen Reis sind das insgesamt, wenn 50 Reiskörner 1 g wiegen?

18٠10¹⁸ : 50 000 000 t = 3,6٠10¹¹ t

Die jährliche Produktion von Reis betrug 1960 etwa 2٠10⁸ t, 2024 etwa 800 000 000 t = 8٠10⁸ t.

Bisher wurde nicht so viel Reis auf der Welt produziert wie sich bei der Geschichte mit den Reiskörnern ergibt.

Verschiedene Reihenfolgen beim Aufstellen in der Turnhalle

19 Schüler stellen sich zum Sportunterricht in einer Reihe auf. Auf Pfiff des Sportlehrers sollen sich die Schüler in einer anderen Reihenfolge aufstellen. Das Umstellen soll 2 Sekunden (s) dauern.

Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es?

19 Schüler können sich auf  19⸱18⸱17⸱. . .⸱3⸱2⸱1 = 19! Möglichkeiten aufstellen.

Das sind insgesamt 121 645 100 408 832 000 ≈ 121,6⸱10¹⁵ = 121,6 Billiarden Möglichkeiten.

Wie lange würde es dauern?

Ein Jahr hat 60⸱60⸱24⸱365 s =  31536000 s. Das bedeutet 31536000 : 2 = 15768000 Umstellungen / Jahr.

Die Gesamtzeit der Umstellungen wäre dann 121,6⸱10¹⁵ : 15768000 ≈ 7,7⸱10⁹, das sind unvorstellbare 7,7 Milliarden, viel länger als die Erde bisher existiert hat, etwa 4,6 Milliarden Jahre.

Empirisches Gesetz der großen Zahlen (Stochastik)

Die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses stabilisiert sich um die Wahrscheinlichkeit des Zufallsergebnisses.

Beispiel: Zufallsexperiment: n-maliges Werfen einer Münze, Zufallsergebnisse: K(opf) oder Z(ahl)

Grafische Darstellung der relativen Häufigkeit h(Z) für n = 100:

Münzwurf als Computersimulation:

                  n               h(Z)

      1000    0.497

     10000    0.4963

    100000    0.4997

   1000000    0.499296

  10000000    0.4998041

Anzahl von Galaxien und Sternen

Unsere Galaxie, die Milchstraße, besteht aus etwa 250 Milliarden Sternen.

Man vermutet heute bis zu 1 Billion Galaxien. Die meisten Galaxien sind kleiner als die Milchstraße und beinhalten weniger Sterne.

Die Gesamtzahl der Sterne wird auf bis zu 70 Trilliarden = 70 000 000 000 000 000 000 000 geschätzt.

Lichtjahre

Ein Lichtjahr stellt die Strecke dar, die Licht in einem ganzen Jahr zurücklegt.

Die Lichtgeschwindigkeit beträgt 299792,458 km/s ≈ 300 000 km/s.

Ein Jahr hat 365 Tage = 365٠24 h = 365٠24٠3600 s = 31536000 s

Dann legt das Licht in einem Jahr 299792,458 km/s ٠ 31536000 s ≈ 9,45٠10¹² km zurück.

1 Lichtjahr (Lj) ≈ 9,45٠10¹² km

Abstand zum nächstgelegenen Fixstern Alpha Centauri:  4 Lj ≈ 3,78٠10¹³ km.

Abstand zum nächstgelegenen Galaxie Andromeda: 2,3٠10⁶ Lj ≈ 2,17·10¹⁹ km.

Die bisher am weitesten entfernte Galaxie HUDF.YD3: 13,23٠10⁹ Lj ≈ 1,25·10²³ km.

Astronomische Massen

Objekt           Masse

Merkur         3,30٠10 ²³ kg
Venus            4,87٠10 ²⁴ kg
Erde              5,97٠10 ²⁷ kg
Monde          7,35٠10 ²² kg
Mars              6,42٠10 ²³ kg
Jupiter          1,90٠10 ²⁷ kg
Saturn          5,69٠10 ²⁶ kg
Uranus         8,68٠10 ²⁵ kg
Neptun         1,02٠10 ²⁶ kg
Sonne           1,99٠10 ³⁰ kg

Supermassereiches Schwarzes Loch > 2٠10 ⁴⁰ kg

Anzahl der Atome im Menschen

Das Gewicht eines Normmenschen sei 70 kg; er besteht etwa zu 70% aus Wasser und zu 30 % aus Kohlenstoff, dh. 0,7٠70 kg = 49 kg aus Wasser und 0,3٠70 kg = 21 kg aus Kohlenstoff.

1 kg Wasser (CO₂) enthält etwa 3,35٠10²⁵ Moleküle = 1,00٠10²⁶ Atome.

1 kg Kohlenstoff (C₁₂) enthält etwa 5,01٠10²⁵ Atome.

49٠1,00٠10²⁶ Atome + 21٠5,01٠10²⁵ Atome = 6,0٠10²⁷ Atome.

Damit ergibt sich beim Menschen eine Anzahl von insgesamt ca. 6,0٠10²⁷ Atome.

Primzahlen

Primzahlen sind natürliche Zahlen, die nur durch sich selbst und durch 1 ohne Rest teilbar sind.
Es gibt unendlich viele Primzahlen, was schon Euklid bewiesen hat (Satz des Euklid, 3. Jhd. v. Chr.).

Primzahlen bis 100:
2   3   5   7  11  13  17  19  23  29  31  37  41  43  47  53  59  61  67  71  73  79  83  89  97 

Die größte bekannte Primzahl ist 41 Millionen Stellen lang (Stand 2025).

Die Zahl hat der Hobbymathematiker Luke Durant mit Hilfe eines sogenannten Cloud-Supercomputer (auf Rechenzentren in 17 Ländern verteilt) errechnet, indem 136.279.841-mal die Zahl 2 miteinander multipliziert und anschließend 1 subtrahiert wird. Das Ergebnis beginnt mit einer 8 und hat genau 41.024.320 Stellen.

Was ist schwerer: Alle Ameisen oder alle Menschen der Erde.

Geschätzte Anzahl von Ameisen auf der Erde 2025: 20 Billiarden = 20٠10¹⁵ 

Eine Ameise wiegt durchschnittlich 8 mg = 8٠10 ^–6 kg

Geschätztes Gesamtgewicht aller Ameisen beträgt dann 160٠10⁹ kg = 1,6٠10¹¹ kg

Geschätztes Gesamtgewicht von etwa 8 Milliarden Menschen 2025, davon 30% Kinder, mit einem durchschnittlichen Gewicht von 65 kg: 65٠8٠10⁹ kg = 5,2٠10¹¹ kg.

Alle Menschen wiegen etwa dreimal so viel wie alle Ameisen der Erde.

Bezeichnungen für große Zahlen

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