Quadrat von Knauth

Die Figur von Knauth ist eine geometrische Figur, die auf den Architekten und ab 1903 Straßburger Dombaumeister Johannes Knauth (1864–1924) zurückgeht.

Gegeben ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a. Es werden die Seitenmitten mit den gegenüberliegenden Eckpunkten des Quadrats geradlinig verbunden.

Die Figur hat eine vierfache Achsensymmetrie und eine vierfache Rotationssymmetrie.

Wegen der vierfachen Rotationssymmetrie folgt, dass der Winkel z.B. bei J gleich 90° ist.

Berechnung der Innenwinkel des gleichseitigen Achtecks:

Bei dem innen liegenden gleichseitigen Achteck sind gegenüberliegende Winkel jeweils gleich groß.

ε/2 + δ/2 + 45° = 180° (Winkelsumme im Dreieck)

ε + δ = 270°

tan(δ/2) = a / a/2 (Tangens im Dreieck EBC)

tan(δ/2) = 2

δ/2 = arctan(2) ≈ 63,43  

δ = 2 arctan(2) ≈ 126,87;  ε ≈ 143,13

Berechnung der Seitenverhältnisse im Dreieck LJP:

β = 180° – δ = 180° – 2 arctan(2)

α = 90° – α = 2 arctan(2) – 90°

s / t = sin(α) / sin(β) = 3 / 4  (Sinussatz und Berechnung mit CAS)

Ansatz: s = 3 k, t = 4 k. Daraus folgt: |LP| = 5 k

(Pythagoras im Dreieck LJP: (3k)² + (4k)² = (5k)²)

Folgerung:

Das Dreieck LJP ist ein ägyptisches Dreieck mit dem Seitenverhältnis 3 : 4 : 5.

Wegen der vierfachen Achsensymmetrie und Rotationssymmetrie gibt es 8 derartige kongruente ägyptische Dreiecke.

Berechnung der Seitenverhältnisse im Dreieck HKC:

|HK| / |KC| = sin(δ – 90°) / sin(180° – δ)  (Sinussatz)

|HK| / |KC| = sin(2 arctan(2) – 90°) / sin(180° – 2 arctan(2)) = 3 / 4 (Berechnung mit CAS)

Folgerung:

Das Dreieck HKC ist ein ägyptisches Dreieck mit dem Seitenverhältnis 3 : 4 : 5.

Wegen der vierfachen Achsensymmetrie und Rotationssymmetrie gibt es 8 derartige kongruente ägyptische Dreiecke.

Berechnung der Seitenlängen in den Dreiecken HKC und LJP:

|HC|² = a² + (a/2)²

|HC| = a/2 √5

Daraus folgt: |HK| = 3/5 |HC| = 3a/10 √5  und |KC| = 4/5 |HC| = 2a/5 √5

Für a = 2√5 ergibt sich für |HK| = 3, |KC| = 4 und |HC| = 5.

|HK| : |SQ| = 2 : 1 (Strahlensatz)

|SQ| = 1/2 |HK| = 3a/20 √5  

|SR| : |RQ| = 5 : 4

|LJ| = |RQ| = 4/9 |SQ| = a/15 √5

|LP| = |SR| = 5/9 |SQ| = a/12 √5

|PJ| = 3/9 |SQ| = a/20 √5

Für a = 12 √5 ergibt sich für |JP| = 3, |JL| = 4 und |LP| = 5.

Bemerkung:

Die Seitenlängen der grünen Dreiecke sind sechsmal so lang wie die Seitenlängen der entsprechenden roten ägyptischen Dreiecke.

Berechnung von Flächeninhalten:

Im Dreieck EBK gilt nach dem Sinussatz:

|KB| / |EB| = sin(δ/2) / sin(90°– δ/2) = sin(arctan(2)) / sin(90° – arctan(2)) = 2

Die Katheten der braunen rechtwinkligen Dreiecke verhalten sich wie 2 : 1.

Flächeninhalt A_◿ des rechtwinkligen Dreiecks:

sin(δ/2) = |KB| / a/2

|KB| = a/2 sin(δ/2) = a/2 ∙ sin(arctan(2)) = a/5 √5

A_◿ = 1/2 ∙ a/5 √5 ∙ a/10 √5 = 1/20 a² 

Das blaue Quadrat hat den Flächeninhalt:

(|KL| + |LP| + |PQ|)² = (a/15 √5 + a/12 √5 + a/20 √5) ² = a²/5

Der Flächeninhalt des blauen Quadrats beträgt 1/5 des Flächeninhalts des gegebenen Quadrats.

Ergebnisse:

Vier braune rechtwinkligen Dreiecke haben denselben Flächeninhalt wie das blaue Quadrat.

Die sternförmige Restfläche hat denselben Flächeninhalt wie die 8 rechtwinkligen Dreiecke zusammen.

Ägyptisches Dreieck

In Ägypten wurde die zusammengebundene Zwölfknotenschnur zum Darstellen von rechten Winkeln benutzt. Die Knoten wurden jeweils im gleichen Abstand (L.E.) gebildet. Die Schnur wird so über die Eckpunkte A, B, C aufgespannt, dass die Seitenlängen 3, 4, 5 L.E. betragen. Es gilt dann:  3² + 4² = 5².
Damit ist ein rechter Winkel im Dreieck ABC gegeben.