Dreieckszahlen nach Pythagoras

        1                  3                       6                       10  (Tetraktys)     ...

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, ...
 

Die Dreieckszahlen entstehen durch Summenbildung der natürlichen Zahlen: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n

Formel zur Berechnung von Dreieckszahlen

Die n-te Dreieckszahl ist   

Aufgaben und Eigenschaften

1)  Bestimme die Summe der ersten 36 natürlichen Zahlen.
     Lösung ist die 36. Dreieckszahl: 
                                                         
 

2)  40 Personen treffen sich, wobei jeder jedem die Hand schüttelt. Wie viele Hände werden geschüttelt?
     Lösung ist die 39. Dreieckszahl:  
                                                       
 

3)  10 Fußballmannschaften organisieren ein Fußballturnier, wobei alle Mannschaften gegeneinander spielen sollen. 
      Wie viele Spiele müssen dann stattfinden?
      Lösung ist die 9. Dreieckszahl: 
                              
 

4)  Wie viele Verbindungslinien gibt es zwischen den Punkten eines 15-Ecks?
      Lösung ist die 14. Dreieckszahl: 
                              
 

5)  Was ist die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen?
      Lösung: Die Quadratzahl der nachfolgenden Dreieckszahl:
      

6)  Was ist die Differenz der Quadrate zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen?
      Lösung: Die 3. Potenz der nachfolgenden Dreieckszahl:
      

7)  K. F. Gauß: Eintragung in sein Tagebuch am 10.7.1796:   num = Δ + Δ + Δ
     Jede natürliche Zahl lässt sich als Summe höchstens dreier Dreieckszahlen darstellen.

Dreieckszahlen als Quasten in den Wappen von kath. Bischöfen und Kardinälen:   weiter
 

Viereckszahlen (Quadratzahlen) nach Pythagoras

          1                     4                         9                           16                         ...

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, ...

Die „Steinchen", die von einer Viereckszahl auf die nächste dazukommen, heißen Gnomon.

Die Viereckszahlen entstehen durch die Summe der ungeraden Zahlen 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n 1),

Formel zur Berechnung von Viereckszahlen

Die n-te Viereckszahl ist  n2 

Aufgaben und Eigenschaften

1)  Die Summe der ungeraden Zahlen bis 2n-1 ist die Quadratzahl n2:
      1 + 3 + 5 + ... + (2n 1) = n2 

2)  Das 8-fache einer Dreieckszahl + 1 = Quadratzahl.

3)  Was ist die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen?

     Lösung: Die Quadratzahl der nachfolgenden Dreieckszahl:
      
 


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