Kreisketten

1) Kreiskette im Dreieck

Einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge 1 werden Kreise folgendermaßen einbeschrieben:

                             

Berechnung der Summe der Flächeninhalte aller einbeschriebenen Kreise.

Die einzelnen Kreise entstehen jeweils durch zentrische Streckung mit dem Zentrum C und dem Streckungsfaktor 1/3 aus dem unteren Kreis mit dem Radius     (Höhe im gleichseitigen Dreieck)

   

Begründung:

Im gleichseitigen Dreieck ist der Höhenschnittpunkt gleich dem Schnittpunkt der Seitenhalbierenden gleich dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden (Inkreismittelpunkt); der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden teilt diese im Verhältnis 2 : 1;
Berechnung von h mit Satz des Pythagoras.

 

   

Die Radien der Kreise sind  .

Die Summe aller Kreisflächeninhalte ergibt dann folgende unendliche Reihe:

NR:  Geometrische Reihe:

2) Kreiskette im goldenen Schnitt

Beim goldenen Schnitt gelten folgende Bezeichnungen und Beziehungen:

m = minor, M = Major

 

   

d1 = 1,  d2 = σ,  d3 = σ٠σ = σ2, . . .

Für die geometrische Reihe mit σ < 1 gilt:²

1 + σ + σ2 + σ3 + . . .   =  1/(1- σ)

|AB| = 1 / (1 – σ)  = 2 + σ    2,618

   

 

Für den Flächeninhalt der Kreiskette mit Radius r1 = 1 gilt:

12π + σ2π + σ4π + σ6π + …  = π (1 + σ² + (σ²)2 + (σ²)3 + …)  = π τ

NR:  Formel für geometrische Reihe anwenden   1 + σ²  + (σ²)2 + (σ²)3 + …  =

Folgerung: Der Flächeninhalt der Kreiskette ist das τ-fache des Flächeninhalts des Ausgangskreises.

   

3) Pappos-Ketten

Pappos-Kette im Arbelos

Ellipse mit Brennpunkten M und E durch die Mittelpunkte der Pappos-Kreise

   

Radius r um M:  r = a + b,  |FM| = d, |CF| = b – d

I    (a+b-x)² = d² + h²              (Pythagoras im ΔFMC1)

II   (a + x)² = (b – d)² + h²      (Pythagoras im ΔCFC1)

III  (b + x)² = (a + d)² + h²      (Pythagoras im ΔFEC1)

II – I = IV   2 x (2 a + b) – 2 a b – b²  = b²  - 2 b d 

II – II = V   x (2 b – 2 a) – a² + b² = a² – b² + 2 (a + b) d

IV٠(a + b) + V٠b  liefert

4 x (a² + a b + b²) – 3 a b (a + b) = a b (a + b)

Allgemein gilt für den Radius rn des n-ten Kreises mit Mittelpunkt Cn:           (Quelle)

Flächeninhalt der Pappos-Kette

Für  a = 1 und b = 2  ergibt sich als Flächeninhalt:

Der Umfangshalbkreis hat den Flächeninhalt  ½ (a+b)² π  ≈  14,1372

Der Flächenanteil der Pappos-Kette beträgt  4,4731 / 14,1372٠100%   31,64 %


Pappos-Kette im Kreis

 

  

 

Für b = 2 und a = 1 ergibt sich als Flächeninhalt:

2٠4,4731 + 1²π    12,0878

Der Umfangskreis hat den Flächeninhalt 28,2743

Der Flächenanteil der Pappos-Kette beträgt  42,75%

 

 

 

 

Konstruktion der Pappos-Kette mit Hilfe der Inversion am Kreis

 

 

  

 

Senkrecht übereinander liegende, sich berührende kongruente Kreise werden an dem Inversionkreis Ik mit Mittelpunkt B gespiegelt, wobei gilt mit R = |AB|:

|BP‘| = R² / |BP|
z.B. |BH‘| = R² / |BH|

Der Spiegelpunkt H‘ liegt:
1. Auf der Winkelhalbierenden [HB der beiden Tangenten von H an den Inversionskreis, Berührpunkte durch Thaleskreis über [HB]
2. Auf der Verbindungsstrecke der beiden Berührpunkte der Tangenten mit dem Inversionskreis

 

  

  

  

 


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