Kreisketten1) Kreiskette im DreieckEinem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge 1 werden Kreise folgendermaßen einbeschrieben:
Berechnung der Summe der Flächeninhalte aller einbeschriebenen Kreise. Die einzelnen Kreise entstehen
jeweils durch zentrische Streckung mit dem Zentrum C und dem Streckungsfaktor
1/3 aus dem unteren Kreis mit dem Radius
Begründung: Im
gleichseitigen Dreieck ist der Höhenschnittpunkt gleich dem Schnittpunkt der
Seitenhalbierenden gleich dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
(Inkreismittelpunkt); der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden teilt diese im Verhältnis
2 : 1;
Die Radien der Kreise sind
Die Summe aller Kreisflächeninhalte ergibt dann folgende unendliche Reihe: 
NR: Geometrische Reihe:
2) Kreiskette im goldenen Schnitt Beim goldenen Schnitt gelten folgende Bezeichnungen und
Beziehungen:
m = minor, M = Major
d1 = 1, d2 = σ, d3 = σ٠σ
= σ2, . . .
Für die
geometrische Reihe mit σ < 1 gilt:²
1 + σ + σ2 + σ3 + . . . = 1/(1- σ) |AB| = 1 / (1 – σ) = 2
+ σ ≈
2,618
Für den Flächeninhalt der
Kreiskette mit Radius r1 = 1 gilt: 12π + σ2π + σ4π + σ6π + … = π (1 + σ² + (σ²)2 + (σ²)3 + …) = π τ
NR: Formel für geometrische Reihe anwenden
1 + σ² + (σ²)2 + (σ²)3 + … =
Folgerung:
Der Flächeninhalt der Kreiskette
ist das
τ-fache
des Flächeninhalts des Ausgangskreises.
3) Pappos-Ketten
Pappos-Kette im Arbelos
Ellipse mit Brennpunkten M und E durch die Mittelpunkte der Pappos-Kreise
Radius r um M: r = a + b, |FM| = d, |CF| = b – d
II (a + x)² = (b – d)² + h²
(Pythagoras im ΔCFC1)
III (b + x)² = (a + d)² + h²
(Pythagoras im ΔFEC1)
II – I = IV 2 x (2 a + b) – 2
a b – b² = b²
- 2 b d
II – II = V x (2 b – 2 a)
– a² + b² = a² – b² + 2 (a + b) d
IV٠(a + b) + V٠b
liefert
4 x (a² + a b + b²) – 3 a b (a + b) = a b (a + b)
Allgemein gilt für den Radius rn des n-ten Kreises mit
Mittelpunkt Cn:
Flächeninhalt der Pappos-Kette
Für a = 1 und b = 2 ergibt sich als Flächeninhalt:
Der Umfangshalbkreis hat den Flächeninhalt
½ (a+b)² π ≈
14,1372
Der Flächenanteil der
Pappos-Kette beträgt 4,4731
/ 14,1372٠100%
≈ 31,64
%
Für b = 2 und a = 1 ergibt sich als
Flächeninhalt:
2٠4,4731 + 1²π
≈ 12,0878
Der Umfangskreis hat den Flächeninhalt 28,2743
Der Flächenanteil der
Pappos-Kette beträgt 42,75%
Konstruktion der Pappos-Kette mit Hilfe der Inversion am Kreis
Senkrecht übereinander liegende, sich
berührende kongruente Kreise werden an dem Inversionkreis Ik mit Mittelpunkt
B gespiegelt, wobei gilt mit R = |AB|:
|BP‘| = R²
/ |BP|
Der Spiegelpunkt H‘ liegt:
|
