Magisches 3x3-Quadrat und die Diedergruppe


Ein natürliches  magisches Quadrat der Ordnung 3 besitzt nur eine Grundform und 7 weitere Darstellungsformen, die durch Spiegelungen und Drehungen aus der Grundform hervorgehen. Seine Zeilen-, Spalten- bzw. Diagonal-Summe beträgt 15.

Bezeichnungen:

d1   :    Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn mit Drehzentrum M (Quadratmitte)

d2   :    Drehung um 180° gegen den Uhrzeigersinn mit Drehzentrum M

d3   :    Drehung um 270° gegen den Uhrzeigersinn mit Drehzentrum M oder
           Drehung um 90° im Uhrzeigersinn mit Drehzentrum M

i = d4 :  identische Abbildung = Drehung um 360° gegen den Uhrzeigersinn mit Drehzentrum M.

s1    :   Spiegelung an der Achse a1

s2    :   Spiegelung an der Achse a2

s3    :   Spiegelung an der Achse a3

s4    :   Spiegelung an der Achse a4

o    :     Verknüpfung (Hintereinanderausführung) zweier Abbildungen von links nach rechts

  

Bei einem beliebigen natürlichen magischen Quadrat der Ordnung 3 als Grundfigur werden Drehungen und Spiegelungen als Abbildungen durchgeführt:
  

  

Aus s1, s2 und  s3 lassen sich durch Verknüpfungen die anderen Abbildungen herleiten:

d3 = s1 o s3,    d2 = s1 o s2,   d1 = s2 o s3,   s4 = s1 o s2 o s3.

   

D4 = { i, d1, d2, d3, s1, s2, s3, s4 } bildet die  Diedergruppe der Ordnung 8 mit folgender Verknüpfungstafel (Gruppentafel), wobei die 1. Abbildung in der linken Spalte und die 2. Abbildung in der 1. Zeile steht:

     

Die Diedergruppe  D4 ist nicht kommutativ, da die Gruppentafel nicht symmetrisch zur Hauptdiagonalen ist.
  

Dabei bilden die Drehungen C4 = { i, d1, d2, d3 } eine kommutative zyklische Untergruppe mit folgender Verknüpfungstafel:

                      

  

d1  ist das erzeugende Element der zyklischen Gruppe:

d2 = d1 o d1= d12

d3 = d1 o d1 o d1 = d13

i = d4 = d1 o d1 o d1 o d1 = d14

Damit lässt sich die zyklische Gruppe folgendermaßen angeben:

C4 = { i, d1, d12, d13 }

 

Die Spiegelungen s2, s3, s4 können mit Hilfe der Drehungen d1, d2, d3 und der Spiegelung s1 angegeben werden:

s2 = d2 o s1,   s3 = d1 o s1,  s4 = d3 o s1.

Damit lässt sich die Diedergruppe D4 nur mit der Drehung d1 und der Spiegelung  s1 erzeugen. 

D4 = { i, d1, d12, d13, s1, d12 o s1, d1 o s1, d13 o s1 } mit i = d14.

      

Bemerkung:

Ein Quadrat mit den Eckpunkten A, B, C und D besitzt die gleiche Diedergruppe wie das magische 3 x 3-Quadrat.

  


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