Klassifizierung von Parketten (Kachelungen, englisch: Tessellation)  

Ein Parkettstein (Kachel) ist eine Figur, die durch eine endlich lange sich nicht schneidende Linie eingeschlossen wird. Bedecken diese Parkettsteine eine Ebene lückenlos und ohne Überlappungen, spricht man von einer Parkettierung (Kachelung).

Hier werden nur Parkettsteine mit geradlinigen Kanten betrachtet und Parkettsteine durch Vielecke (Dreieck, Viereck, Fünfeck und Sechseck) dargestellt.

Bei der Klassifizierung von Parketten mit kongruenten Parkettsteinen spielen die Eckpunkte eine entscheidende Rolle.

Umläuft man einen einzelnen Parkettstein gegen den Uhrzeigersinn und notiert für jeden Eckpunkt seinen Wert, so erhält man eine Sequenz von natürlichen Zahlen, die bis auf zyklische Vertauschungen für alle Parkettsteine des Parketts dieselbe ist. Man bezeichnet diese Sequenz der Wertigkeiten der Eckpunkte auch als Knüpfmuster des betreffenden Parketts.

Dieses Knüpfmuster kennzeichnet das Parkett.

Man kann sich die Struktur des Parketts auch als ein dehnbares Netz aus Fäden und Knoten, den Eckpunkten, vorstellen. Eine Verzerrung des Netzes ändert nichts an den Eigenschaften der Knoten des Netzes.

Der Mineraloge und Kristallograph Fritz Laves zeigte 1931, dass es genau 11 verschiedene Knüpfmuster für Parkette gibt.

Parkett 1:  (3,3,3,3,3,3)                 Parkett 2:  (3,3,3,3,6)                  Parkett 3: (3,3,3,4,4)

    

Parkett 4: (3,3,4,3,4)                      Parkett 5: (3,4,6,4)                     Parkett 6: (3,6,3,6)

   

Parkett 7: (4, 4, 4, 4)                    Parkett 8: (4,8,8)                       Parkett 9: (3,12,12)

   

Parkett 10: (4,6,12)                              Parkett 11: (6,6,6) 

 

 
Fünfecke kommen als Parkettsteine in den Parketten 2, 3 und 4 vor.

Parkett 1  kann auch mit einem asymmetrischen Sechseck oder einem Fünfeck als Parkettstein dargestellt werden.

Beispiel:

   

Bei der Parkettierung mit Fünfecken als Parkettsteine wurden bisher 15 verschiedene Fünfeckformen gefunden. Sie können verschiedenen Knüpfmustern zugeordnet werden.

Dazu mehr:  https://de.wikipedia.org/wiki/Parkettierung_mit_F%C3%BCnfecken

In Parkett 7 wird der Parkettstein durch ein Quadrat dargestellt. Der Parkettstein kann aber auch ein beliebiges konvexes Viereck oder ein Dreieck sein.

Beispiel:

          

 

Der Parkettstein für Parkett 5 ist ein konvexer Drachen mit den Innenwinkeln 60°, 90°, 120° und 90°.

Der Parkettstein für Parkett 6 ist eine Raute mit den Innenwinkeln 60° und 120°.

Der Parkettstein für Parkett 8 ist ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck.

Der Parkettstein für Parkett 9  ist ein gleichschenkliges Dreieck mit den Basiswinkeln 30°.

Der Parkettstein für Parkett 10 ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den weiteren Innenwinkeln 30° und 60°.

Der Parkettstein für Parkett 11 ist ein beliebiges Dreieck.

Parkettierungen können aber auch an Hand von Gruppeneigenschaften klassifiziert werden. Dies führt zu den 17 Symmetriegruppen eines periodischen Musters.

 

Animierte Parkette 

Eine Parkettierung der Ebene besteht aus einer Menge von Parkettsteinen oder Grundmustern, die die Ebene ohne Überlappungen und ohne Lücken bedeckt.
Folgende drei Bilder stellen die Gruppe p6m dar, die zu den 17 Symmetriegruppen von ebenen periodischen Mustern gehört.

Muster der Gruppe p6m mit 6 Symmetrieachsen und sechszähliger Rotation:

Muster p6m

Animation des Musters der Gruppe p6m
 

Untergruppen von p6m mit 3 Symmetrieachsen und dreizähliger Rotation und mit 2 Symmetrieachsen und zweizähliger Rotation:

  Muster p6m-ugr3           Muster p6m-ugr2       

           Animation linkes Muster                                   Animation rechtes Muster

  

Als Grundmuster werden bei den folgenden Bildern Rauten und Quadrate verwendet:  

Muster Raute-Quadrat

 Animation des Musters
 

Bayerisches Rautenmuster als Vorlage für eine Parkettierung:  

Muster Raute-by

Animation des bayerischen Rautenmusters

Erstellt von M. Holzapfel mit GeoGebra

 

Literatur- und Quellenangaben:

Parkettierung

https://de.wikipedia.org/wiki/Parkettierung

Parkettierungen im Matheunterricht

http://othes.univie.ac.at/36556/1/2015-01-21_0509371.pdf

Frank Heinrich:  Parkettierungen I

http://www.mathematikinformation.info/pdf/MI39Heinrich.pdf



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