Pythagoreische Tripel

[a, b, c]  mit  a² + b² = c², wobei a, b, und c natürliche Zahlen sind.

Anschauliche Darstellung - Satz des Pythagoras:

 

Programm in der Programmiersprache Python:

ogr = 40

print('Lösungen für a^2 + b^2 = c^2, b>a')

print('   a     b      c')

for a in range (1,ogr+1):

    for b in range (a,ogr+1):

        p = a*a + b*b

        q = p**(1/2)

        c = int(q)

        if c*c == p:

            print('%4d  %4d   %4d' % (a,b,c))

Anzeige:

Lösungen für a^2 + b^2 = c^2, b>a

   a     b      c

   3     4      5

   5    12     13

   6     8     10

   7    24     25

   8    15     17

   9    12     15

   9    40     41

  10    24     26

  12    16     20

  12    35     37

  15    20     25

  15    36     39

  16    30     34

  18    24     30

  20    21     29

  21    28     35

  24    32     40

  27    36     45

  30    40     50

 

Pythagoreische Tripel heißen primitiv, wenn a, b und c teilerfremd sind, d.h. nur den gemeinsamen Teiler 1 haben.

Lösungen für a^2 + b^2 = c^2 für a,b,c teilerfremd

   a     b      c

   3     4      5

   5    12     13

   7    24     25

   8    15     17

   9    40     41

  12    35     37

  20    21     29

  . . .
 

Falls c eine Primzahl ist gilt offensichtlich für c und einer natürlichen Zahl n:
c = 4 n +1  bzw.  c mod 4 = 1 (c geteilt durch 4 gibt Rest 1)

Lösungen mit einem Programm in Python.

Lösungen für a^2 + b^2 = c^2 mit Primzahl c

   a     b     c   c mod 4

   3     4     5      1

   5    12    13      1

   8    15    17      1

   9    40    41      1

  11    60    61      1

  12    35    37      1

  20    21    29      1

  20    99   101      1

  28    45    53      1

  39    80    89      1

  48    55    73      1

  60    91   109      1

  65    72    97      1

  . . .
 

Im Vergleich dazu der

Fermatsche Zwei-Quadrate-Satz:
Eine ungerade Primzahl p ist genau dann die Summe zweier Quadrate, wenn sie von der Form p = 4 n +1 ist, d.h.  p mod 4 = 1 mit einer natürlichen Zahl n.

Diese Primzahlen nennt man auch pythagoreische Primzahlen.

Lösungen mit einem Programm in Python.

Lösungen für a^2 + b^2 = p mit Primzahl p

   a     b     p   p mod 4

   1     2     5      1

   1     4    17      1

   1     6    37      1

   1    10   101      1

   1    14   197      1

   2     3    13      1

   2     5    29      1

   2     7    53      1

   2    13   173      1

   2    15   229      1

   3     8    73      1

   3    10   109      1

   4     5    41      1

   4     9    97      1

   . . .
 

Formel von Pythagoras zur Berechnung der Tripel, wobei gilt c – b = 1 oder c = b + 1 und a ist ungerade, berechnet mit Hilfe von DERIVE:

              2       2    

             a - 1   a + 1  

g(a) := [ a, —————,  ————— ]

                2       2  

VECTOR(g(a), a, 3, 19, 2)

  3    4    5 

  5   12   13 

  7   24   25 

  9   40   41

 11   60   61

 13   84   85 

 15  112  113

 17  144  145

 19  180  181
 

Für Primzahlen a gilt ebenfalls: c = b + 1.

 

Formel von Platon zur Berechnung der Tripel, wobei gilt c – b = 2 und a ist gerade, berechnet mit Hilfe von DERIVE:

 

             a 2     a 2   

h(a) := [ a,(—) - 1,(—) + 1 ]

             2       2     

VECTOR(h(a), a, 4, 20, 2)

  4    3    5 

  6    8   10 

  8   15   17 

 10   24   26 

 12   35   37 

 14   48   50 

 16   63   65 

 18   80   82 

 20   99  101

 

Allgemeine Lösungen für a² + b² = (b + n)²  mit c = b + n oder c – b = n

         2    2      2    2

        a  - n      a  + n 

a, b =  ——————, c = —————— 

          2·n         2·n     

  

Lösungen in Python für a² + b² = c², wobei gilt

für ungerade n: a1 = 3n,

für   gerade n:   a1 = 2n.

   a     b      c   c-b=n

   3     4      5     1

   5    12     13     1

   7    24     25     1

   9    40     41     1

   . . .

   9    12     15     3

  15    36     39     1

  21    72     75     3

  27   120    123     3

  . . .

  15    20     25     5

  25    60     65     5

  35   120    125     5

  45   200    205     5

  . . .

  21    28     35     7      Zusätzliche Lösungen für b<a:

  35    84     91     7

  49   168    175     7

  63   280    287     7

  . . .

  27    36     45     9       15 8 17, 21 20 29  

  33    56     65     9

  39    80     89     9

  45   108    117     9

  . . .

 

   4     3      5     2

   6     8     10     2  

   8    15     17     2

  10    24     26     2

  . . .

   8     6     10     4

  12    16     20     4  

  16    30     34     4

  20    48     52     4

  . . .

  12     9     15     6

  18    24     30     6  

  24    45     51     6

  30    72     78     6

  . . .

 

  16    12     20     8       12 5 13

  20    21     29     8

  24    32     40     8  

  28    45     53     8

  . . .

  20    15     25    10

  30    40     50    10  

  40    75     85    10

  50   120    130    10

  . . .

 

        Pythagoreische Quadrupel  

[a, b, c, d]  mit  a² + b² + c²  =  d², wobei a, b, c und d natürliche Zahlen sind.

Ein Quader ABCDEFGH veranschaulicht die Gleichung a² + b² + c²  =  d²; 
 
a² + b²  =    und  x² + c²  =    (zweimal Satz des Pythagoras)

       

Programm in der Programmiersprache Python

ogr = 20   

print('Lösungen für a^2 + b^2 + c^2 = d^2')

print('Obergrenze für a, b oder c gleich 20')

print('   a    b    c    d')

for a in range(1,ogr+1):

    for b in range(a,ogr+1):

        for c in range(b,ogr+1):

            p = a*a + b*b + c*c

            q = p**(1/2)

            d = int(q)

            if d*d == p:

                print('%4d %4d %4d %4d' % (a,b,c,d))

 

Lösungen für a^2 + b^2 + c^2 = d^2

Obergrenze für a, b oder c gleich 20

   a    b    c    d

   1    2    2    3

   1    4    8    9

   1    6   18   19

   1   12   12   17

   2    3    6    7

   2    4    4    6

   2    5   14   15

   2    6    9   11

   2    8   16   18

   2   10   11   15

   3    4   12   13

   3    6    6    9

   3   14   18   23

   4    4    7    9

   4    5   20   21

   4    6   12   14

   4    8    8   12

   4    8   19   21

   4   12   18   22

   4   13   16   21

   5   10   10   15

   6    6    7   11

   6    6   17   19

   6    9   18   21

   6   10   15   19

   6   12   12   18

   6   13   18   23

   7   14   14   21

   8    8   14   18

   8    9   12   17

   8   11   16   21

   8   16   16   24

   9   12   20   25

   9   18   18   27

  10   20   20   30

  12   12   14   22

  12   15   16   25

  17   20   20   33

 

Mit folgender Formel lassen sich mit Hilfe von DERIVE bei gegebener Differenz
n = b – a  oder  b = a + n  für ungerade n beliebig viele Quadrupel mit der Eigenschaft
d – c = 1 erzeugen; hier n = 9  bis  a = 10.

                         2         (n - 1)·(n + 1)   2        (n - 1)·(n + 1)    

f(a, n) := [ a, a + n, a  + n·a + ———————————————, a  + n·a + —————————————— + 1 ]

                                          2                          2           

z.B. n = 9

VECTOR(f(a,n),a,1,10)

  1  10  50   51 

  2  11  62   63 

  3  12  76   77 

  4  13  92   93 

  5  14  110  111

  6  15  130  131

  7  16  152  153

  8  17  176  177

  9  18  202  203

 10  19  230  231

 

Formel für gerade a und gerade n, wobei d – c = 2:

                         2                      2                    

                        a    n       n 2       a    n       n 2     

g(a, n) := [ a, a + n, —— + —·a + ( — ) - 1,  —— + —·a + ( —+ 1 ] 

                        2    2       2         2    2       2       

z.B. n = 8

VECTOR(g(a,n),a,2,20,2)

  2  10  25   27 

  4  12  39   41 

  6  14  57   59 

  8  16  79   81 

 10  18  105  107

 12  20  135  137

 14  22  169  171

 16  24  207  209

 18  26  249  251

 20  28  295  297

 

 

Vielfache einer Lösung sind auch Lösungen, z.B.:

h(a) := [a, 2·a, 2·a, 3·a]

VECTOR(h(a), a, 1, 10)

  1   2   2   3

  2   4   4   6

  3   6   6   9

  4   8   8  12

  5  10  10  15

  6  12  12  18

  7  14  14  21

  8  16  16  24

  9  18  18  27

 10  20  20  30

 

 

Lösungen in Python für primitive Quadrupel, d.h. a, b und c sind teilerfremd,
mit a² + b² + c²  = 

   a    b    c    d

   1    2    2    3

   1    4    8    9

   1    6   18   19

   1   12   12   17

   2    3    6    7

   2    5   14   15

   2    6    9   11

   2   10   11   15

   2   10   25   27

   2   14   23   27

   3    4   12   13

   3    6   22   23

   3   14   18   23

   3   16   24   29

   4    4    7    9

   4    5   20   21

   4    8   19   21

   4   13   16   21

   6    6    7   11

   6    6   17   19

   6   10   15   19

   6   13   18   23

   6   21   22   31

   7   14   22   27

   8    9   12   17

   8   11   16   21

   8   20   25   33

   9   12   20   25

   . . .

 

Lösungen für Quadrupel mit a² + b² + c²  =  d² mit Tripel  a² + b² =  x²,
a, b, c, d und x sind natürliche Zahlen.

   a    b    c    d

   3    4   12   13

   5   12   84   85

   6    8   24   26

   7   24   60   65

   9   12   20   25

   9   12   36   39

  12   16   21   29

  12   16   48   52

  12   16   99  101

  15   20   60   65

  15   36   52   65

  15   36   80   89

  16   63   72   97

  18   24   40   50

  18   24   72   78

  21   28   84   91

  21   72  100  125

  . . .

 

Lösungen für Quadrupel mit a² + b² + c²  =  d² mit Tripel  a² + b² =  x² und  b² + c² =  y²,  a, b, c, d, x und y sind natürliche Zahlen.

  a    b    c    d

 264  448  975 1105

 264  495  952 1105

 357 1276 6960 7085

 528  896 1950 2210

 528  990 1904 2210

 533  756 3360 3485

 792 1344 2925 3315

 792 1485 2856 3315

 819 1680 3740 4181

 861 5852 6864 9061

 . . .

 


Zurück
Zurück zur Startseite