Tetraedergruppe und symmetrische Gruppe S4


Eigenschaften des Tetraeders bezüglich Symmetrie:

  • 3 zweizählige Drehachsen a1, a2, a3 durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten,

  • 4 dreizählige Drehachsen b1, b2, b3, b4 durch die Ecken und die Mitten der gegenüberliegenden Seitenflächen,

  • 6 Symmetrieebenen E1 bis E6 jeweils durch eine Kante und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Kante,

  • keine Punktsymmetrie.

  

  

Damit besitzt das Tetraeder 3*1 + 4*2 + 1 ( Identität 1) = 12  verschiedene Abbildungen der Drehgruppe. Diese 12 Elemente der Drehgruppe kombiniert mit den 6 Ebenenspiegelungen und 6 Drehspiegelungen ergeben  24 Abbildungen, die die Bedingungen einer Gruppe erfüllen und die Tetraedergruppe bilden.

1  Identität (identische Abbildung i) = Drehung um 360°
   

Bezeichnungen für die Abbildungen:

ak1 = Drehung um Achse ak um 180°,  jeweils k = 1, 2, 3 (jeweils zweizählige Drehung)

ak2 = Drehung um Achse ak um 360° = i (identische Abbildung)

 

bk1 = Drehung um Achse bk um 120°, jeweils  k = 1, 2, 3, 4 (jeweils dreizählige Drehung)

bk2 = Drehung um Achse bk um 240°,

bk3 = Drehung um Achse bk um 360° = i

 

e1 = Spiegelung an Ebene E1, Eckpunkte 1 und 2 werden vertauscht,

e2 = Spiegelung an Ebene E2, Eckpunkte 1 und 3 werden vertauscht,

e3 = Spiegelung an Ebene E3, Eckpunkte 1 und 4 werden vertauscht,

e4 = Spiegelung an Ebene E4, Eckpunkte 2 und 3 werden vertauscht,

e5 = Spiegelung an Ebene E5, Eckpunkte 2 und 4 werden vertauscht,

e6 = Spiegelung an Ebene E6, Eckpunkte 3 und 4 werden vertauscht.

 

d1 = Drehspiegelung e6 o b11 (Verknüpfung von e6 und b11),

d2 = Drehspiegelung e6 o b21,

d3 = Drehspiegelung e5 o b12,

d4 = Drehspiegelung e5 o b31,

d5 = Drehspiegelung e4 o b22,

d6 = Drehspiegelung e4 o b32.

  

Tetraedergruppe T =

= { i, a11, a21 a31,  b11, b12, b21, b22, b31, b32, b41, b42,  e1, e2, e3, e4, e5, e6, d1, d2, d3, d4, d5, d6  

Isomorph zur Tetraedergruppe ist die symmetrische Gruppe S4 der Permutationen der Menge { 1, 2, 3, 4 }. Isomorphie (Isomorphismus) bedeutet dabei eine umkehrbar eindeutige Abbildung zwischen den beiden mathematischen Strukturen.

Die symmetrische Gruppe S4 besteht aus 24 Elementen, den Permutationen z.B. der vierelementigen Menge {1, 2, 3, 4}. 

a)  S4  in Matrixschreibweise:

    

     In der 2. Zeile stehen jeweils die zugeordneten Zahlen.

b)  S4  in Tupelschreibweise:

     { (1,2,3,4), (1,2,4,3), (1,3,2,4), ..., (4,3,2,1) }, kurz: { 1234, 1243, 1324, ..., 4321 }

    Sie enthält nur noch die 2. Zeile der Matrixdarstellung.

  

Die der Tetraedergruppe zugeordnete symmetrische Gruppe S4 in entsprechender Reihenfolge:

S4 = { 1234, 2143, 3412, 4321,  2314, 3124, 2431, 4132, 3241, 4213, 1342, 1423,  2134, 3214, 4231, 1324, 1432, 1243,  2341, 2413, 3421, 3142, 4312, 4123 }

Die Isomorphie entsteht durch die umkehrbar eindeutige Zuordnung der entsprechenden Elemente:

a11   2143,  a21  3412,  a31  4321, . . . ,  d6  4123
 

Gruppentafel für die Tetraedergruppe, entspricht der Gruppentafel für die symmetrische Gruppe S4:

o i a11 a21 a31 b11 b12 b21 b22 b31 b32 b41 b42 e1 e2 e3 e4 e5 e6 d1 d2 d3 d4 d5 d6
i i a11 a21 a31 b11 b12 b21 b22 b31 b32 b41 b42 e1 e2 e3 e4 e5 e6 d1 d2 d3 d4 d5 d6
a11 a11 i a31 a21 b31 b41 b32 b42 b11 b21 b12 b22 e6 d1 d2 d4 d6 e1 e2 e3 d5 e4 d3 e5
a21 a21 a31 i a11 b42 b21 b12 b31 b22 b41 b32 b12 d3 e5 d4 d2 e2 d5 d6 e4 e1 e3 e6 d1
a31 a31 a21 a11 i b22 b32 b41 b11 b42 b12 b21 b31 d5 d6 e4 e3 d1 d3 e5 d4 e6 d2 e1 e2
b11 b11 b42 b22 b31 b12 i a31 b41 b21 a11 a21 b32 e4 e1 d1 e2 d5 d2 d3 d6 e3 e5 d4 e6
b12 b12 b32 b41 b21 i b11 b31 a21 a31 b42 b22 a11 e2 e4 d3 e1 d4 d6 e3 e6 d1 d5 e5 d2
b21 b21 b41 b32 b12 a21 b42 b22 i a11 b11 b31 a31 e5 d2 e1 d3 e3 d1 d4 d5 d6 e6 e2 e4
b22 b22 b31 b11 b42 b32 a31 i b21 b41 a21 a11 b12 e3 d5 e5 d6 e1 d4 e6 e2 e4 d1 d2 d3
b31 b31 b22 b42 b11 b41 a11 a21 b12 b32 i a31 b21 d4 e6 e2 d1 d3 e3 d5 e5 d2 d6 e4 e1
b32 b32 b12 b21 b41 a31 b22 b42 a11 i b31 b11 a21 d6 e3 e6 d5 d2 e2 e4 d3 e5 e1 d1 d4
b41 b41 b21 b12 b32 a11 b31 b11 a31 a21 b22 b42 i d1 d4 d5 e6 e4 e5 d2 e1 e2 d3 d6 e3
b42 b42 b11 b31 b22 b21 a21 a11 b32 b12 a31 i b41 d2 d3 d6 e5 e6 e4 e1 d1 d4 e2 e3 d5
e1 e1 e6 d5 d3 e2 e4 e3 e5 d1 d2 d4 d6 i b11 b21 b12 b22 a11 b31 b32 a31 b41 a21 b42
e2 e2 d6 e5 d1 e4 e1 d3 d4 e3 e6 d5 d2 b12 i b31 b11 a21 b32 a31 b42 b21 b22 b41 a11
e3 e3 d4 d2 e4 d5 d6 e5 e1 e6 e2 d1 d3 b22 b32 i a31 b21 b31 b41 a21 b42 a11 b11 b12
e4 e4 d2 d4 e3 e1 e2 d1 d5 d3 d6 e5 e6 b11 b12 a31 i b41 b42 b21 a11 b31 a21 b22 b32
e5 e5 d1 e2 d6 d2 d3 e1 e3 d4 d5 e6 e4 b21 a21 b22 b42 i b41 a11 b11 b12 b31 b32 a31
e6 e6 e1 d3 d5 d1 d4 d2 d6 e2 e3 e4 e5 a11 b31 b32 b41 b42 i b11 b21 a21 b12 a31 b22
d1 d1 e5 d6 e2 d4 e6 d5 e4 d2 e1 d3 e3 b41 a11 b11 b31 a31 b21 a21 b22 b32 b42 b12 i
d2 d2 e4 e3 d4 d3 e5 d6 e6 e1 d1 e2 d5 b42 b21 a11 a21 b32 b11 b12 a31 b22 i b31 b41
d3 d3 d5 e6 e1 e5 d2 d4 e2 d6 e4 e3 d1 a21 b42 b12 b21 b31 a31 b22 b41 a11 b32 i b11
d4 d4 e3 e4 d2 e6 d1 e2 d3 d5 e5 d6 e1 b31 b41 a21 a11 b12 b22 b32 i b11 a31 b42 b21
d5 d5 d3 e1 e6 d6 e3 e4 d1 e5 d4 d2 e2 a31 b22 b41 b32 b11 a21 b42 b12 i b21 a11 b31
d6 d6 e2 d1 e5 e3 d5 e6 d2 e4 d3 e1 d4 b32 a31 b42 b22 a11 b12 i b31 b41 b11 b21 a21

  

Beispiel einer Verknüpfung in Matrixschreibweise:

                a11  o  b32   =   b21 
 

Veranschaulichung:

 

Untergruppen:

Alternierende Gruppe A4 = { i, a11, a21 a31,  b11, b12, b21, b22, b31, b32, b41, b42 }, 12 Elemente (hellblaues Quadrat)

Diedergruppe D4:  { i, a11, a21 a31,  e1, e6, d3, d5 }, ..., { i, a11, a21 a31,  e1, e6, d3, d5 },  je 8 Elemente

Symmetrische Gruppen S3,  { i, b11, b12, e1, e2, e4 }, ..., { i, b41, b42, e4, e5, e6 },  je 6 Elemente

Diedergruppe D2 =  { i, a11, a21 a31 },  4 Elemente (dunkelblaues Quadrat)

Zyklische Gruppen C4:  { i, a11, e1, e6 },  ... ,  { i, a31, e3, e4 }, je 4 Elemente

Zyklische Gruppen C3:  { i, b11, b12 },  { i, b21, b22 },  { i, b31, b32 }, { i, b41, b42 }, je 3 Elemente

Zyklische Gruppen C2:  { i, a11}, { i, a21}, { i, a31},  je 2 Elemente

  

Bemerkung:

Nach dem Satz von Lagrange ist die Ordnung (Anzahl der Elemente) einer Untergruppe zu einer Gruppe mit der Ordnung n ein echter Teiler von n.

    


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