Volle Tetraedergruppe Td und symmetrische Gruppe S4

Eigenschaften des regulären Tetraeders bezüglich Symmetrie:

  • 3 zweizählige Drehachsen a1, a2, a3 durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten,

  • 4 dreizählige Drehachsen b1, b2, b3, b4 durch die Ecken und die Mitten der gegenüberliegenden Seitenflächen,

  • 6 Symmetrieebenen E1 bis E6 jeweils durch eine Kante und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Kante,

  • keine Punktsymmetrie.

  

Damit besitzt das Tetraeder 3*1 + 4*2 + 1 ( Identität 1) = 12  verschiedene Abbildungen der Drehgruppe. Diese 12 Elemente der Drehgruppe kombiniert mit den 6 Ebenenspiegelungen und 6 Drehspiegelungen ergeben  24 Abbildungen, die die Bedingungen einer Gruppe erfüllen und die Tetraedergruppe bilden.

1  Identität (identische Abbildung i) = Drehung um 360°
   

Bezeichnungen für die Abbildungen:

ak1 = Drehung um Achse ak um 180°,  jeweils k = 1, 2, 3 (jeweils zweizählige Drehung)

ak2 = Drehung um Achse ak um 360° = i (identische Abbildung)

 

bk1 = Drehung um Achse bk um 120°, jeweils  k = 1, 2, 3, 4 (jeweils dreizählige Drehung)

bk2 = Drehung um Achse bk um 240°,

bk3 = Drehung um Achse bk um 360° = i

 

e1 = Spiegelung an Ebene E1, Eckpunkte 1 und 2 werden vertauscht,

e2 = Spiegelung an Ebene E2, Eckpunkte 1 und 3 werden vertauscht,

e3 = Spiegelung an Ebene E3, Eckpunkte 1 und 4 werden vertauscht,

e4 = Spiegelung an Ebene E4, Eckpunkte 2 und 3 werden vertauscht,

e5 = Spiegelung an Ebene E5, Eckpunkte 2 und 4 werden vertauscht,

e6 = Spiegelung an Ebene E6, Eckpunkte 3 und 4 werden vertauscht.

 

d1 = Drehspiegelung e6 o b11 (Verknüpfung von e6 und b11),

d2 = Drehspiegelung e6 o b21,

d3 = Drehspiegelung e5 o b12,

d4 = Drehspiegelung e5 o b31,

d5 = Drehspiegelung e4 o b22,

d6 = Drehspiegelung e4 o b32.

  

Volle Tetraedergruppe Td = { i, a11, a21 a31,  b11, b12, b21, b22, b31, b32, b41, b42, e1, e2, e3, e4, e5, e6, d1, d2, d3, d4, d5, d6 }   

Isomorph zur vollen Tetraedergruppe Td ist die symmetrische Gruppe S4 der Permutationen (Vertauschungen) z.B. der Elemente der Menge {1, 2, 3, 4}.
Isomorphie (Isomorphismus i.Z. ≅) bedeutet dabei eine umkehrbar eindeutige Abbildung zwischen den beiden mathematischen Strukturen.

Die symmetrische Gruppe S4 besteht aus 24 Elementen, den Permutationen z.B. der vierelementigen Menge {1, 2, 3, 4}. 

a)  S4  in Matrixschreibweise:

    

     In der 2. Zeile stehen jeweils die zugeordneten Zahlen.

b)  S4  in Tupelschreibweise:

     { (1,2,3,4), (1,2,4,3), (1,3,2,4), ..., (4,3,2,1) }, kurz: { 1234, 1243, 1324, ..., 4321 }

    Sie enthält nur noch die 2. Zeile der Matrixdarstellung.

  

Die der vollen Tetraedergruppe Td zugeordnete symmetrische Gruppe S4 in entsprechender Reihenfolge:

S4 = { 1234, 2143, 3412, 4321,  2314, 3124, 2431, 4132, 3241, 4213, 1342, 1423,  2134, 3214, 4231, 1324, 1432, 1243,  2341, 2413, 3421, 3142, 4312, 4123 }

Die Isomorphie entsteht durch die umkehrbar eindeutige Zuordnung der entsprechenden Elemente:

a11   2143,  a21  3412,  a31  4321, . . . ,  d6  4123 

Gruppentafel für die Tetraedergruppe Td, entspricht der Gruppentafel für die symmetrische Gruppe S4:

o i a11 a21 a31 b11 b12 b21 b22 b31 b32 b41 b42 e1 e2 e3 e4 e5 e6 d1 d2 d3 d4 d5 d6
i i a11 a21 a31 b11 b12 b21 b22 b31 b32 b41 b42 e1 e2 e3 e4 e5 e6 d1 d2 d3 d4 d5 d6
a11 a11 i a31 a21 b31 b41 b32 b42 b11 b21 b12 b22 e6 d1 d2 d4 d6 e1 e2 e3 d5 e4 d3 e5
a21 a21 a31 i a11 b42 b21 b12 b31 b22 b41 b32 b11 d3 e5 d4 d2 e2 d5 d6 e4 e1 e3 e6 d1
a31 a31 a21 a11 i b22 b32 b41 b11 b42 b12 b21 b31 d5 d6 e4 e3 d1 d3 e5 d4 e6 d2 e1 e2
b11 b11 b42 b22 b31 b12 i a31 b41 b21 a11 a21 b32 e4 e1 d1 e2 d5 d2 d3 d6 e3 e5 d4 e6
b12 b12 b32 b41 b21 i b11 b31 a21 a31 b42 b22 a11 e2 e4 d3 e1 d4 d6 e3 e6 d1 d5 e5 d2
b21 b21 b41 b32 b12 a21 b42 b22 i a11 b11 b31 a31 e5 d2 e1 d3 e3 d1 d4 d5 d6 e6 e2 e4
b22 b22 b31 b11 b42 b32 a31 i b21 b41 a21 a11 b12 e3 d5 e5 d6 e1 d4 e6 e2 e4 d1 d2 d3
b31 b31 b22 b42 b11 b41 a11 a21 b12 b32 i a31 b21 d4 e6 e2 d1 d3 e3 d5 e5 d2 d6 e4 e1
b32 b32 b12 b21 b41 a31 b22 b42 a11 i b31 b11 a21 d6 e3 e6 d5 d2 e2 e4 d3 e5 e1 d1 d4
b41 b41 b21 b12 b32 a11 b31 b11 a31 a21 b22 b42 i d1 d4 d5 e6 e4 e5 d2 e1 e2 d3 d6 e3
b42 b42 b11 b31 b22 b21 a21 a11 b32 b12 a31 i b41 d2 d3 d6 e5 e6 e4 e1 d1 d4 e2 e3 d5
e1 e1 e6 d5 d3 e2 e4 e3 e5 d1 d2 d4 d6 i b11 b21 b12 b22 a11 b31 b32 a31 b41 a21 b42
e2 e2 d6 e5 d1 e4 e1 d3 d4 e3 e6 d5 d2 b12 i b31 b11 a21 b32 a31 b42 b21 b22 b41 a11
e3 e3 d4 d2 e4 d5 d6 e5 e1 e6 e2 d1 d3 b22 b32 i a31 b21 b31 b41 a21 b42 a11 b11 b12
e4 e4 d2 d4 e3 e1 e2 d1 d5 d3 d6 e5 e6 b11 b12 a31 i b41 b42 b21 a11 b31 a21 b22 b32
e5 e5 d1 e2 d6 d2 d3 e1 e3 d4 d5 e6 e4 b21 a21 b22 b42 i b41 a11 b11 b12 b31 b32 a31
e6 e6 e1 d3 d5 d1 d4 d2 d6 e2 e3 e4 e5 a11 b31 b32 b41 b42 i b11 b21 a21 b12 a31 b22
d1 d1 e5 d6 e2 d4 e6 d5 e4 d2 e1 d3 e3 b41 a11 b11 b31 a31 b21 a21 b22 b32 b42 b12 i
d2 d2 e4 e3 d4 d3 e5 d6 e6 e1 d1 e2 d5 b42 b21 a11 a21 b32 b11 b12 a31 b22 i b31 b41
d3 d3 d5 e6 e1 e5 d2 d4 e2 d6 e4 e3 d1 a21 b42 b12 b21 b31 a31 b22 b41 a11 b32 i b11
d4 d4 e3 e4 d2 e6 d1 e2 d3 d5 e5 d6 e1 b31 b41 a21 a11 b12 b22 b32 i b11 a31 b42 b21
d5 d5 d3 e1 e6 d6 e3 e4 d1 e5 d4 d2 e2 a31 b22 b41 b32 b11 a21 b42 b12 i b21 a11 b31
d6 d6 e2 d1 e5 e3 d5 e6 d2 e4 d3 e1 d4 b32 a31 b42 b22 a11 b12 i b31 b41 b11 b21 a21

  

Beispiel einer Verknüpfung in Matrixschreibweise:

                a11  o  b32   =   b21 

Veranschaulichung:

Untergruppen:

Tetraedergruppe T = { i, a11, a21 a31,  b11, b12, b21, b22, b31, b32, b41, b42 } ≅ Alternierende Gruppe A4, 12 Elemente (hellblaues Quadrat)

3 Diedergruppen D4:  { i, a11, a21, a31,  e1, e6, d3, d5 }, { i, a11, a21 a31,  e2, e5, d1, d6 }, { i, a11, a21 a31,  e3, e4, d2, d4 } je 8 Elemente

4 Diedergruppen D3:  { i, b11, b12, e1, e2, e4 }, { i, b21, b22, e1, e3, e5 }, { i, b31, b32, e2, e3, e6 }, { i, b41, b42, e4, e5, e6 } ≅ symmetrische Gruppen S3, je 6 Elemente

Diedergruppe D2 = { i, a11, a21, a31 } ≅ Kleinsche Vierergruppe,  4 Elemente (dunkelblaues Quadrat)

3 Zyklische Gruppen C4:  { i, a11, e1, e6 }, { i, a21, e2, e5 }, { i, a31, e3, e4 }, je 4 Elemente

4 Zyklische Gruppen C3:  { i, b11, b12 },  { i, b21, b22 },  { i, b31, b32 }, { i, b41, b42 }, je 3 Elemente

3 Zyklische Gruppen C2:  { i, a11}, { i, a21}, { i, a31},  je 2 Elemente

Die Diedergruppen D4 in der Gruppentafel:

Diedergruppe D4-1 =  { i, a11, a21 a31,  e1, e6, d3, d5 } (hellgrün)

Diedergruppe D4-2 =  { i, a11, a21 a31,  e2, e5, d1, d6 } (grün)

Diedergruppe D4-3 =  { i, a11, a21 a31,  e3, e4, d2, d4 } (dunkelgrün)

Die Abbildungen i, a11, a21 a31 sind den 3 Gruppen gemeinsam.

o i a11 a21 a31 b11 b12 b21 b22 b31 b32 b41 b42 e1 e2 e3 e4 e5 e6 d1 d2 d3 d4 d5 d6
i i a11 a21 a31 b11 b12 b21 b22 b31 b32 b41 b42 e1 e2 e3 e4 e5 e6 d1 d2 d3 d4 d5 d6
a11 a11 i a31 a21 b31 b41 b32 b42 b11 b21 b12 b22 e6 d1 d2 d4 d6 e1 e2 e3 d5 e4 d3 e5
a21 a21 a31 i a11 b42 b21 b12 b31 b22 b41 b32 b12 d3 e5 d4 d2 e2 d5 d6 e4 e1 e3 e6 d1
a31 a31 a21 a11 i b22 b32 b41 b11 b42 b12 b21 b31 d5 d6 e4 e3 d1 d3 e5 d4 e6 d2 e1 e2
b11 b11 b42 b22 b31 b12 i a31 b41 b21 a11 a21 b32 e4 e1 d1 e2 d5 d2 d3 d6 e3 e5 d4 e6
b12 b12 b32 b41 b21 i b11 b31 a21 a31 b42 b22 a11 e2 e4 d3 e1 d4 d6 e3 e6 d1 d5 e5 d2
b21 b21 b41 b32 b12 a21 b42 b22 i a11 b11 b31 a31 e5 d2 e1 d3 e3 d1 d4 d5 d6 e6 e2 e4
b22 b22 b31 b11 b42 b32 a31 i b21 b41 a21 a11 b12 e3 d5 e5 d6 e1 d4 e6 e2 e4 d1 d2 d3
b31 b31 b22 b42 b11 b41 a11 a21 b12 b32 i a31 b21 d4 e6 e2 d1 d3 e3 d5 e5 d2 d6 e4 e1
b32 b32 b12 b21 b41 a31 b22 b42 a11 i b31 b11 a21 d6 e3 e6 d5 d2 e2 e4 d3 e5 e1 d1 d4
b41 b41 b21 b12 b32 a11 b31 b11 a31 a21 b22 b42 i d1 d4 d5 e6 e4 e5 d2 e1 e2 d3 d6 e3
b42 b42 b11 b31 b22 b21 a21 a11 b32 b12 a31 i b41 d2 d3 d6 e5 e6 e4 e1 d1 d4 e2 e3 d5
e1 e1 e6 d5 d3 e2 e4 e3 e5 d1 d2 d4 d6 i b11 b21 b12 b22 a11 b31 b32 a31 b41 a21 b42
e2 e2 d6 e5 d1 e4 e1 d3 d4 e3 e6 d5 d2 b12 i b31 b11 a21 b32 a31 b42 b21 b22 b41 a11
e3 e3 d4 d2 e4 d5 d6 e5 e1 e6 e2 d1 d3 b22 b32 i a31 b21 b31 b41 a21 b42 a11 b11 b12
e4 e4 d2 d4 e3 e1 e2 d1 d5 d3 d6 e5 e6 b11 b12 a31 i b41 b42 b21 a11 b31 a21 b22 b32
e5 e5 d1 e2 d6 d2 d3 e1 e3 d4 d5 e6 e4 b21 a21 b22 b42 i b41 a11 b11 b12 b31 b32 a31
e6 e6 e1 d3 d5 d1 d4 d2 d6 e2 e3 e4 e5 a11 b31 b32 b41 b42 i b11 b21 a21 b12 a31 b22
d1 d1 e5 d6 e2 d4 e6 d5 e4 d2 e1 d3 e3 b41 a11 b11 b31 a31 b21 a21 b22 b32 b42 b12 i
d2 d2 e4 e3 d4 d3 e5 d6 e6 e1 d1 e2 d5 b42 b21 a11 a21 b32 b11 b12 a31 b22 i b31 b41
d3 d3 d5 e6 e1 e5 d2 d4 e2 d6 e4 e3 d1 a21 b42 b12 b21 b31 a31 b22 b41 a11 b32 i b11
d4 d4 e3 e4 d2 e6 d1 e2 d3 d5 e5 d6 e1 b31 b41 a21 a11 b12 b22 b32 i b11 a31 b42 b21
d5 d5 d3 e1 e6 d6 e3 e4 d1 e5 d4 d2 e2 a31 b22 b41 b32 b11 a21 b42 b12 i b21 a11 b31
d6 d6 e2 d1 e5 e3 d5 e6 d2 e4 d3 e1 d4 b32 a31 b42 b22 a11 b12 i b31 b41 b11 b21 a21

 

Zwei Diedergruppen D3 in der Gruppentafel:

D3-2 = { i, b11, b12, e1, e2, e4 } (hell-lila)

D3-3 ={ i, b31, b32, e2, e3, e6 } (lila)

Die Abbildungen i und e3 sind den 2 Gruppen gemeinsam.

o i a11 a21 a31 b11 b12 b21 b22 b31 b32 b41 b42 e1 e2 e3 e4 e5 e6 d1 d2 d3 d4 d5 d6
i i a11 a21 a31 b11 b12 b21 b22 b31 b32 b41 b42 e1 e2 e3 e4 e5 e6 d1 d2 d3 d4 d5 d6
a11 a11 i a31 a21 b31 b41 b32 b42 b11 b21 b12 b22 e6 d1 d2 d4 d6 e1 e2 e3 d5 e4 d3 e5
a21 a21 a31 i a11 b42 b21 b12 b31 b22 b41 b32 b12 d3 e5 d4 d2 e2 d5 d6 e4 e1 e3 e6 d1
a31 a31 a21 a11 i b22 b32 b41 b11 b42 b12 b21 b31 d5 d6 e4 e3 d1 d3 e5 d4 e6 d2 e1 e2
b11 b11 b42 b22 b31 b12 i a31 b41 b21 a11 a21 b32 e4 e1 d1 e2 d5 d2 d3 d6 e3 e5 d4 e6
b12 b12 b32 b41 b21 i b11 b31 a21 a31 b42 b22 a11 e2 e4 d3 e1 d4 d6 e3 e6 d1 d5 e5 d2
b21 b21 b41 b32 b12 a21 b42 b22 i a11 b11 b31 a31 e5 d2 e1 d3 e3 d1 d4 d5 d6 e6 e2 e4
b22 b22 b31 b11 b42 b32 a31 i b21 b41 a21 a11 b12 e3 d5 e5 d6 e1 d4 e6 e2 e4 d1 d2 d3
b31 b31 b22 b42 b11 b41 a11 a21 b12 b32 i a31 b21 d4 e6 e2 d1 d3 e3 d5 e5 d2 d6 e4 e1
b32 b32 b12 b21 b41 a31 b22 b42 a11 i b31 b11 a21 d6 e3 e6 d5 d2 e2 e4 d3 e5 e1 d1 d4
b41 b41 b21 b12 b32 a11 b31 b11 a31 a21 b22 b42 i d1 d4 d5 e6 e4 e5 d2 e1 e2 d3 d6 e3
b42 b42 b11 b31 b22 b21 a21 a11 b32 b12 a31 i b41 d2 d3 d6 e5 e6 e4 e1 d1 d4 e2 e3 d5
e1 e1 e6 d5 d3 e2 e4 e3 e5 d1 d2 d4 d6 i b11 b21 b12 b22 a11 b31 b32 a31 b41 a21 b42
e2 e2 d6 e5 d1 e4 e1 d3 d4 e3 e6 d5 d2 b12 i b31 b11 a21 b32 a31 b42 b21 b22 b41 a11
e3 e3 d4 d2 e4 d5 d6 e5 e1 e6 e2 d1 d3 b22 b32 i a31 b21 b31 b41 a21 b42 a11 b11 b12
e4 e4 d2 d4 e3 e1 e2 d1 d5 d3 d6 e5 e6 b11 b12 a31 i b41 b42 b21 a11 b31 a21 b22 b32
e5 e5 d1 e2 d6 d2 d3 e1 e3 d4 d5 e6 e4 b21 a21 b22 b42 i b41 a11 b11 b12 b31 b32 a31
e6 e6 e1 d3 d5 d1 d4 d2 d6 e2 e3 e4 e5 a11 b31 b32 b41 b42 i b11 b21 a21 b12 a31 b22
d1 d1 e5 d6 e2 d4 e6 d5 e4 d2 e1 d3 e3 b41 a11 b11 b31 a31 b21 a21 b22 b32 b42 b12 i
d2 d2 e4 e3 d4 d3 e5 d6 e6 e1 d1 e2 d5 b42 b21 a11 a21 b32 b11 b12 a31 b22 i b31 b41
d3 d3 d5 e6 e1 e5 d2 d4 e2 d6 e4 e3 d1 a21 b42 b12 b21 b31 a31 b22 b41 a11 b32 i b11
d4 d4 e3 e4 d2 e6 d1 e2 d3 d5 e5 d6 e1 b31 b41 a21 a11 b12 b22 b32 i b11 a31 b42 b21
d5 d5 d3 e1 e6 d6 e3 e4 d1 e5 d4 d2 e2 a31 b22 b41 b32 b11 a21 b42 b12 i b21 a11 b31
d6 d6 e2 d1 e5 e3 d5 e6 d2 e4 d3 e1 d4 b32 a31 b42 b22 a11 b12 i b31 b41 b11 b21 a21

 

Die der vollen Tetraedergruppe Td zugeordnete Gruppentafel der symmetrischen Gruppe S4

i a11 a21 a31 b11 b12 b21 b22 b31 b32 b41 b42 e1 e2 e3 e4 e5 e6 d1 d2 d3 d4 d5 d6
o 1234 2143 3412 4321 2314 3124 2431 4132 3241 4213 1342 1423 2134 3214 4231 1324 1432 1243 2341 2413 3421 3142 4312 4123
i 1234 1234 2143 3412 4321 2314 3124 2431 4132 3241 4213 1342 1423 2134 3214 4231 1324 1432 1243 2341 2413 3421 3142 4312 4123
a11 2143 2143 1234 4321 3412 3241 1342 4213 1423 2314 2431 3124 4132 1243 2341 2413 3142 4123 2134 3214 4231 4312 1324 3421 1432
a21 3412 3412 4321 1234 2143 1423 2431 3124 3241 4132 1342 4213 2314 3421 1432 3142 2413 3214 4312 4123 1324 2134 4231 1243 2341
a31 4321 4321 3412 2143 1234 4132 4213 1342 2314 1423 3124 2431 3241 4312 4123 1324 4231 2341 3421 1432 3142 1243 2413 2134 3214
b11 2314 2314 1423 4132 3241 3124 1234 4321 1342 2431 2143 3412 4213 1324 2134 2341 3214 4312 2413 3421 4123 4231 1432 3142 1243
b12 3124 3124 4213 1342 2431 1234 2314 3241 3412 4321 1423 4132 2143 3214 1324 3421 2134 3142 4123 4231 1243 2341 4312 1432 2413
b21 2431 2431 1423 4213 3124 3412 1423 4132 1234 2143 2314 3241 4321 1432 2413 2134 3421 4231 2341 3142 4312 4123 1243 3214 1324
b22 4132 4132 3241 2314 1423 4213 4321 1234 2431 1342 3412 2143 3124 4231 4312 1432 4123 2134 3142 1243 3214 1324 2341 2413 3421
b31 3241 3241 4132 1423 2314 1342 2143 3412 3124 4213 1234 4321 2431 3142 1243 3214 2341 3421 4231 4312 1432 2413 4123 1324 2134
b32 4213 4213 3124 2431 1342 4321 4132 1423 2143 1234 3241 2314 3412 4123 4231 1243 4312 2413 3214 1324 3421 1432 2134 2341 3142
b41 1342 1342 2431 3124 4213 2143 3241 2314 4321 3412 4132 1423 1234 2341 3142 4312 1243 1324 1432 2413 2134 3214 3421 4123 4231
b42 1423 1423 2314 3241 4132 2431 3412 2143 4213 3124 4321 1234 1342 2413 3421 4123 1432 1243 1324 2134 2341 3142 3214 4231 4312
e1 2134 2134 1243 4312 3421 3214 1324 4231 1432 2341 2413 3142 4123 1234 2314 2431 3124 4132 2143 3241 4213 4321 1342 3412 1423
e2 3214 3214 4123 1432 2341 1324 2134 3421 3142 4231 1243 4312 2413 3124 1234 3241 2314 3412 4213 4321 1423 2431 4132 1342 2143
e3 4231 4231 3142 2413 1324 4312 4123 1432 2134 1243 3214 2341 3421 4132 4213 1234 4321 2431 3241 1342 3412 1423 2143 2314 3124
e4 1324 1324 2413 3142 4231 2134 3214 2341 4312 3421 4123 1432 1243 2314 3124 4321 1234 1342 1423 2431 2143 3241 3412 4132 4213
e5 1432 1432 2341 3214 4123 2413 3421 2134 4231 3142 4312 1243 1324 2431 3412 4132 1423 1234 1342 2143 2314 3124 3241 4213 4321
e6 1243 1243 2134 3421 4312 2341 3142 2413 4123 3214 4231 1324 1432 2143 3241 4213 1342 1423 1234 2314 2431 3412 3124 4321 4132
d1 2341 2341 1432 4123 3214 3142 1243 4312 1324 2413 2134 3421 4231 1342 2143 2314 3241 4321 2431 3412 4132 4213 1423 3124 1234
d2 2413 2413 1324 4231 3142 3421 1432 4123 1243 2134 2341 3214 4312 1423 2431 2143 3412 4213 2314 3124 4321 4132 1234 3241 1342
d3 3421 3421 4312 1243 2134 1432 2413 3142 3214 4123 1324 4231 2341 3412 1423 3124 2431 3241 4321 4132 1342 2143 4213 1234 2314
d4 3142 3142 4231 1324 2413 1243 2341 3214 3421 4312 1432 4123 2134 3241 1342 3412 2143 3124 4132 4213 1234 2314 4321 1423 2431
d5 4312 4312 3421 2134 1243 4123 4231 1324 2341 1432 3142 2413 3214 4321 4132 1342 4213 2314 3412 1423 3124 1234 2431 2143 3241
d6 4123 4123 3214 2341 1432 4231 4312 1243 2413 1324 3421 2134 3142 4213 4321 1423 4132 3412 3124 1234 3241 1342 2314 2431 3412

  

Bemerkungen:

Die volle Tetraedergruppe Td (d = dot) ist die Punktgruppe aller Symmetrien eines regulären Tetraeders. Sie besteht aus Drehungen, Spiegelungen und Drehspiegelungen, die das Tetraeder auf sich abbilden. Td besitzt 24 Gruppenelemente und hat damit die Gruppenordnung 24. Durch das Durchnummerieren der Eckpunkte des Tetraeders ist die Isomorphie zur symmetrische Gruppe S4 besser zu erkennen.

Die Tetraedergruppe T ist gleich der alternierenden Gruppe A4 (in der Gruppentafel hellblau gekennzeichnet). Sie besteht aus Drehungen, die das Tetraeder auf sich abbilden. T besitzt 12 Gruppenelemente und hat damit die Gruppenordnung 12.

Die symmetrische Gruppe (Permutationsgruppe) S4 besteht aus allen Permutationen (Vertauschungen) einer 4-elementigen Menge, z.B. {1, 2, 3, 4}.

Nach dem Satz von Lagrange ist die Ordnung (Anzahl der Elemente) einer Untergruppe zu einer Gruppe mit der Ordnung n ein echter Teiler von n.

Zurück

Zurück zur Startseite