Tetraedergruppe und symmetrische Gruppe S4Eigenschaften des Tetraeders bezüglich Symmetrie:
Damit besitzt das Tetraeder 3*1 + 4*2 + 1 ( Identität 1) = 12 verschiedene Abbildungen der Drehgruppe. Diese 12 Elemente der Drehgruppe kombiniert mit den 6 Ebenenspiegelungen und 6 Drehspiegelungen ergeben 24 Abbildungen, die die Bedingungen einer Gruppe erfüllen und die Tetraedergruppe bilden.
1 Identität (identische
Abbildung i)
= Drehung um 360°
Bezeichnungen
für die Abbildungen: ak1 = Drehung um Achse ak um 180°, jeweils k = 1, 2, 3 (jeweils zweizählige Drehung) ak2 = Drehung um Achse ak um 360° = i (identische Abbildung) bk1 = Drehung um Achse bk um 120°, jeweils k = 1, 2, 3, 4 (jeweils dreizählige Drehung) bk2 = Drehung um Achse bk um 240°, bk3 = Drehung um Achse bk um 360° = i e1 = Spiegelung an Ebene E1, Eckpunkte 1 und 2 werden vertauscht, e2 = Spiegelung an Ebene E2, Eckpunkte 1 und 3 werden vertauscht, e3 = Spiegelung an Ebene E3, Eckpunkte 1 und 4 werden vertauscht, e4 = Spiegelung an Ebene E4, Eckpunkte 2 und 3 werden vertauscht, e5 = Spiegelung an Ebene E5, Eckpunkte 2 und 4 werden vertauscht, e6 = Spiegelung an Ebene E6, Eckpunkte 3 und 4 werden vertauscht. d1 = Drehspiegelung e6 o b11 (Verknüpfung von e6 und b11), d2 = Drehspiegelung e6 o b21, d3 = Drehspiegelung e5 o b12, d4 = Drehspiegelung e5 o b31, d5 = Drehspiegelung e4 o b22, d6 = Drehspiegelung e4 o b32.
Tetraedergruppe
T =
= { i, a11, a21 a31, b11, b12, b21, b22, b31,
b32, b41, b42, e1, e2, e3, e4,
e5,
e6, d1, d2,
d3, d4, d5, d6 }
Isomorph zur Tetraedergruppe
ist die symmetrische Gruppe S4 der Permutationen der Menge { 1, 2, 3, 4 }.
Isomorphie (Isomorphismus) bedeutet dabei eine umkehrbar eindeutige Abbildung
zwischen den beiden mathematischen Strukturen. Die symmetrische Gruppe S4 besteht aus 24 Elementen, den Permutationen z.B. der vierelementigen Menge {1, 2, 3, 4}. a) S4 in Matrixschreibweise:
In der 2. Zeile stehen jeweils die zugeordneten Zahlen. b) S4 in Tupelschreibweise:
{ (1,2,3,4), (1,2,4,3), (1,3,2,4), ..., (4,3,2,1) }, kurz: { 1234, 1243, 1324, ..., 4321 } Sie enthält nur noch die 2. Zeile der Matrixdarstellung.
Die der Tetraedergruppe zugeordnete symmetrische Gruppe S4 in entsprechender Reihenfolge: S4 = { 1234, 2143, 3412, 4321, 2314, 3124, 2431, 4132, 3241, 4213, 1342, 1423, 2134, 3214, 4231, 1324, 1432, 1243, 2341, 2413, 3421, 3142, 4312, 4123 } Die Isomorphie entsteht durch die umkehrbar eindeutige Zuordnung der entsprechenden Elemente: a11
2143, a21
3412, a31
4321, . . . , d6
4123 Gruppentafel
für die Tetraedergruppe, entspricht der Gruppentafel für die symmetrische
Gruppe S4:
Beispiel
einer Verknüpfung in Matrixschreibweise:
a11
o
b32
=
b21
Veranschaulichung:
Untergruppen: Alternierende Gruppe A4 = { i, a11, a21 a31, b11, b12, b21, b22, b31, b32, b41, b42 }, 12 Elemente (hellblaues Quadrat) Diedergruppe D4: { i, a11, a21 a31, e1, e6, d3, d5 }, ..., { i, a11, a21 a31, e1, e6, d3, d5 }, je 8 Elemente Symmetrische Gruppen S3, { i, b11, b12, e1, e2, e4 }, ..., { i, b41, b42, e4, e5, e6 }, je 6 Elemente Diedergruppe D2 = { i, a11, a21 a31 }, 4 Elemente (dunkelblaues Quadrat) Zyklische Gruppen C4: { i, a11, e1, e6 }, ... , { i, a31, e3, e4 }, je 4 Elemente Zyklische Gruppen C3: { i, b11, b12 }, { i, b21, b22 }, { i, b31, b32 }, { i, b41, b42 }, je 3 Elemente Zyklische Gruppen C2: { i, a11}, { i, a21}, { i, a31}, je 2 Elemente
Bemerkung: Nach dem Satz von Lagrange ist die Ordnung (Anzahl der Elemente) einer Untergruppe zu einer Gruppe mit der Ordnung n ein echter Teiler von n. |