Vereinfachen von Termen

Ein Term besteht aus Zahlen, Variablen, Rechenoperationen und Klammern zur Festlegung der Reihenfolge der Berechnung.

Bei der Vereinfachung eines Terms werden die Gesetze der Algebra angewandt.

Zwei Terme, die durch Anwendung der Rechengesetze auseinander  hervorgehen, heien quivalent.

Aus den Gesetzen der Algebra folgt, dass Summanden beliebig vertauscht werden drfen. Da eine Differenz a–b in die Summe a+(–b)  umgewandelt werden kann, drfen alle Glieder eines Terms einschlielich des Rechenzeichens vertauscht werden.

Es gelten die Vorrangregeln:

Punkt(rechnung ٠  : ) vor Strich(rechnung + )

Was in Klammern steht wird zuerst berechnet, von inneren Klammern nach auen.

Es wird von links nach rechts gerechnet.

1. Beispiel:

    3٠(1,56 + 2,6) 2٠(6,7 – 3,38) =  | Der Term stellt eine Differenz dar

=  3٠4,16 – 2٠3,32 =

=  12,48 6,64 =  

=  5,84

2. Beispiel:

    2a(9b – 6c) – 3b(2a + 5c) + 6c(2a – b) =   | Der Term ist eine Summe

=  18ab – 12ac – 6ab – 15bc + 12ac – 6bc =  |  ba = ab und ca = ac

=  18ab – 6ab – 12ac + 12ac – 15bc – 6bc =  |  – 12ac + 12ac = 0

=  12ab – 21bc

Bemerkung:  gleichartige Produkte von Variablen knnen addiert bzw. subtrahiert werden, indem man ihre Zahlenfaktoren addiert bzw. subtrahiert.
Beispiel: 18ab – 6ab = 12ab

3. Beispiel:

    12a + 9b 2(5a – 3(2a – b)) =  | Der Term ist eine Differenz

=  12a + 9b – 2(5a – 6a + 3b) =

=  12a + 9b – 2(–a + 3b) =

=  12a + 9b + 2a – 6b =

=  12a + 2a + 9b – 6b =

=  10a + 3b

4. Beispiel:

    5a(6 – 4(3 – a)) (3a(6a – 12) – 12a) =  | Der Term ist eine Differenz

=  5a(6 – 12 + 4a) – (18a – 36a – 12a) =

=  5a(6 + 4a) – (6a – 36a) =

=  –30a + 20a – 6a + 36a =

=  36a – 30a + 20a – 6a =

=  6a + 14a

Bemerkung:  a und a sind ungleichartig und knnen nicht addiert werden!


5. Beispiel:

    (2a – 3b)٠((5a + 7b) – (3a + 4b)) =   |  Der Term ist ein Produkt

=  (2a – 3b) (5a + 7b – 3a – 4b) =

=  (2a – 3b) (2a + 3b) =  (*)    | Binomische Formel III anwenden

=  4a –  9b                            |  NR: 2a٠2a = 2٠2٠a٠a = 4a

(*) = 4a + 6ab – 6ab – 9b = |  oder Klammern ausmultiplizieren (auflsen)

=  4a –  9b


6. Beispiel:
 Bruchterm vereinfachen

    |  Der Term ist ein Produkt



7. Beispiel:
Bruchterm vereinfachen (schwierig)

 

   

    | Binomische Formel III anwenden

   


8. Beispiel:
Wurzelterm

    7  – 3   (2  – 3 ) =             |  Binomische Formel II anwenden

=  4   (4٠3 – 12٠ ٠  + 9٠2) =    | wegen – Zeichen Klammer beibehalten

=  4   (30 – 12  ) =                         | Klammer auflsen

=  4   – 30 + 12  =

=  16  – 30

  


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