Die n-te Dreieckszahl entsteht durch Summenbildung der natürlichen Zahlen: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n, n∊ℕ

Behauptung: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = ½ n (n+1)

Beweis durch vollständige Induktion:

1. Induktionsanfang: Formel ist gültig für n=1.

2. Induktionsvoraussetzung: Formel ½ n (n+1) sei gültig für n-te Dreieckszahl.

3. Induktionsschritt: Zu zeigen, dass die Formel auch für n+1 gültig ist:

Die (n+1)-te Zahl ist n + 1

Die (n+1)-te Dreieckszahl ist dann 

½ n (n+1) + n+1 = ½ (n (n+1) + 2(n+1)) = ½ (n+1)(n+2)

Damit ist gezeigt, dass die Formel auch für n+1 und damit allgemein gilt.

Berechnung der n-ten Dreieckszahl als Summe der arithmetischen Folge 1 + 2 + 3 + 4 + … + n,   .

Summenformel für die arithmetische Folge mit Anfangsglied a₁  und Abstand d:  n a₁ + 1/2 n (n–1) d

Mit dem Anfangsglied a₁ = 1 und dem Abstand d = 1 ergibt sich in die Formel  eingesetzt für die n-te Dreieckszahl

n٠1 + ½ n (n–1)  = ½ n (n+1)  

 Die n-te Viereckszahl entsteht durch die Summe der ersten n ungeraden Zahlen 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1), n∊ℕ

Behauptung: 1 + 3 + 5 + … + 2n–1 =  n².

Beweis durch vollständige Induktion:

1. Induktionsanfang: Formel ist gültig für n=1.

2. Induktionsvoraussetzung: Formel n² sei gültig für n-te Viereckszahl.

3. Induktionsschritt: Zu zeigen, dass die Formel auch für n+1 gültig ist:

Die (n+1)-te ungerade Zahl ist 2n + 1

1 + 2 + 5 + … + 2n–1 + 2n+1 = n² + 2n + 1 = (n + 1)²

Damit ist gezeigt, dass die Formel auch für n+1 und damit allgemein gilt.

Berechnung der n-ten Viereckszahl als Summe der arithmetischen Folge 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1),   .

Summenformel für die arithmetische Folge mit Anfangsglied a₁  und Abstand d:  n a₁ + 1/2 n (n–1) d

Mit dem Anfangsglied a₁ = 1 und dem Abstand d = 2 ergibt sich in die Formel  eingesetzt für die n-te Viereckszahl

n٠1 + ½ n (n–1)٠2  =  n²

 Die n-ten Fünfeckszahl entsteht durch die Summe 1 + 4 + 7 + 10 + … (3n – 2), n∊ℕ

Behauptung:  1 + 4 + 7 + 10 + … (3n – 2) = ½ n (3n – 1)

Beweis durch vollständige Induktion:

1. Induktionsanfang: Formel ist gültig für n=1.

2. Induktionsvoraussetzung: Formel ½ n (3n – 1) sei gültig für n-te Fünfeckszahl.

3. Induktionsschritt: Zu zeigen, dass die Formel auch für n+1 gültig ist:

Die (n+1)-te ungerade Zahl ist 3(n+1) – 2 = 3n + 1

½ n (3n–1) + 3n+1  = ½ (3n² + 5n + 2)

½ (n+1) (3(n+1) – 1) = ½ (3n² + 5n + 2)

Damit ist gezeigt, dass die Formel auch für n+1 und damit allgemein gilt.

Berechnung der n-ten Fünfeckszahl als Summe der arithmetischen Folge 1 + 4 + 7 + 10 + … (3n – 2),   .

Summenformel für die arithmetische Folge mit Anfangsglied a₁  und Abstand d:  n a₁ + 1/2 n (n–1) d

Mit dem Anfangsglied a₁ = 1 und dem Abstand d = 3 ergibt sich in die Formel  eingesetzt für die n-te Fünfeckszahl

n٠1 + ½ n (n–1)٠3  = ½ n (3n – 1)

Berechnung der n-ten k-Eckszahl als Summe der arithmetischen Folge 1 + (1+(k–2)) + (1+2(k–2)) + (1+3(k–2)) + … + (1+(n–1)(k–2)), n∊ℕ.

Summenformel für die arithmetische Folge mit Anfangsglied a₁ und Abstand d:  n a₁ + 1/2 n (n–1) d

Mit dem Anfangsglied a₁ = 1 und dem Abstand d = k–2 ergibt sich in die Formel eingesetzt für die n-te k-Eckszahl

n٠1 + ½ n (n–1) (k–2) = ½ n ((n – 1)(k – 2) + 2)

 Die n-te Kartenhauszahl K(n) entsteht durch die Summe 2 + 5 + 8 + 11 + … + 3n-1, n∊ℕ

Behauptung: 2 + 5 + 8 + 11 + … + 3n-1 = 1/2 n (3n + 1)

Beweis durch vollständige Induktion:

1. Induktionsanfang: Formel ist gültig für n=1: K(1) = 2.

2. Induktionsvoraussetzung: Formel K(n) = ½ n (3n + 1) sei gültig für n-te Kartenhauszahl .

3. Induktionsschritt: Zu zeigen, dass die Formel auch für n+1 gültig ist:

Der (n+1)-te Summand ist 3(n+1) – 1 = 3n+2

K(n) + 3n+2 = ½ n (3n + 1) + 3n+2 = ½ (3n² + 7n +4)

K(n+1) = ½ ( n+1) (3(n+1) + 1) = ½ (3n² + 7n +4) = K(n) + 3n+2

Damit ist gezeigt, dass die Formel auch für n+1 und damit allgemein gilt.

Berechnung der n-ten Kartenhauszahl als Summe der arithmetischen Folge 2 + 5 + 8 + 11 + … + 3n-1,  .

Summenformel für die arithmetische Folge mit Anfangsglied a₁  und Abstand d:  n a₁ + 1/2 n (n–1) d

Mit dem Anfangsglied a₁ = 2 und dem Abstand d = 3 ergibt sich in die Formel  eingesetzt für die n-te Kartenhauszahl 

n٠2 + ½ n (n–1)٠3  =  ½ n (3n + 1)

 Die n-te Kartenhauszahl K*(n) entsteht durch die Summe

3 + 6 + 9 + 12 + … + 3n = 3 (1 + 2 + 3 + … + n) = 3/2 n (n + 1)

K*(n) = 3 (1 + 2 + 3 + … + n)

K*(n) ist dreifache Dreieckszahl.