Dreieckszahlen nach Pythagoras

        1                   3                        6                        10  (Tetraktys)     ...

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, ...

Die Dreieckszahlen entstehen durch Summenbildung der natürlichen Zahlen: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n,  

Die n-te Dreieckszahl ist  .   Beweis und Berechnung 

Aufgaben und Eigenschaften

1)  Bestimme die Summe der ersten 36 natürlichen Zahlen.
     Lösung ist die 36. Dreieckszahl: 
                                                           

2)  40 Personen treffen sich, wobei jeder jedem die Hand schüttelt. Wie viele Hände werden geschüttelt?
     Lösung ist die 39. Dreieckszahl:  
                                                           

3)  10 Fußballmannschaften organisieren ein Fußballturnier, wobei alle Mannschaften gegeneinander spielen sollen. 
      Wie viele Spiele müssen dann stattfinden?
      Lösung ist die 9. Dreieckszahl: 
                                                     

4)  Wie viele Verbindungslinien gibt es zwischen den Punkten eines 15-Ecks?
      Lösung ist die 14. Dreieckszahl: 
                                                     

5)  Was ist die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen?
      Lösung: Die Quadratzahl der nachfolgenden Dreieckszahl:
      

6)  Was ist die Differenz der Quadrate zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen?
      Lösung: Die 3. Potenz der nachfolgenden Dreieckszahl:
      

7)  K. F. Gauß: Eintragung in sein Tagebuch am 10.7.1796:   num = Δ + Δ + Δ
     Jede natürliche Zahl lässt sich als Summe höchstens dreier Dreieckszahlen darstellen.

Dreieckszahlen als Quasten in den Wappen von kath. Bischöfen und Kardinälen

Viereckszahlen (Quadratzahlen) nach Pythagoras

        1                     4                         9                         16                         ... 

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, ...

Die „Steinchen", die von einer Viereckszahl auf die nächste dazukommen, heißen Gnomon.

Die Viereckszahlen entstehen durch die Summe der ungeraden Zahlen 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1),

Die n-te Viereckszahl ist  n².      Beweis und Berechnung

Eigenschaften

1)  Die Summe der ungeraden Zahlen bis 2n–1 ist die Quadratzahl n²:

     1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n² 

2)  Jede Quadratzahl lässt sich als Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen darstellen, s.o. 5).

3)  Das 8-fache einer Dreieckszahl + 1 = Quadratzahl.

Fünfeckszahlen (Pentagonalzahlen)

1                       5                        12                              22                   …

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, …

Jedes neue Fünfeck entsteht aus dem vorherigen Fünfeck, indem man drei Seiten des neuen Fünfecks hinzufügt mit 4, 7, 10, … Punkten.

Die Fünfeckszahlen entstehen durch die Summe der Zahlen  1 + 4 + 7 + 10 + … (3n – 2),   .

Die n-te Fünfeckszahl ist  ½ n (3n – 1).      Beweis und Berechnung

n-Eckszahlen

Diophantos von Alexandria löste das Problem für beliebige Polygone und den zugeordneten k-Eckszahlen. Der Wert der n-ten k-Eckszahl P_k(n) beträgt:
P_k(n) = 1/2 n ((n – 1)(k – 2) + 2) mit k > 2,  .   Berechnung

Andere Darstellung:

Kartenhauszahlen

Ändert man in der Formel für Fünfeckszahlen das Rechenzeichen – zu +, so erhält man die n-te Kartenhauszahl  K(n) = 1/2 n (3n + 1).

Die n-te Kartenhauszahl K(n) entsteht durch die Summe 2 + 5 + 8 + 11 + … + 3n-1 = 1/2 n (3n + 1)      Beweis und Berechnung

Folge der Kartenhauszahlen: 2, 7, 15, 26, 40, 57, 77, 100, 126, 155, . . .

      2                  7                       15                              26    . . .

Legt man beim Kartenhausaufbau die unterste Karte mit aus, so erhält man folgende Zahlenfolge: 3, 9, 18, 30, 45, 63, 84, 108, 135, 165, . . .

Die n-te Kartenhauszahl K*(n) entsteht durch die Summe 3 + 6 + 9 + 12 + … + 3n = 3 (1 + 2 + 3 + … + n) = 3/2 n (n + 1)

      3                 9                        18                              30     . . .

Die n-te Zahl der Zahlenfolge ist K*(n) = 3/2 n (n + 1), das dreifache der n-ten Dreieckszahl.

Dreiecke in Dreiecksform übereinander liegend

Ein Dreieck aus kongruenten Dreiecken veranschaulicht die Summe von n ungeraden Zahlen.
Dabei stellt n die Anzahl der übereinander liegenden Reihen dar.

Hier ist n = 5.

1 + 3 + 5 + 7 + 9  = 25 = 5² 

Allgemein gilt:

Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n².

1 + 3 + 5 + … + 2n–1 = n² (wie bei den Viereckszahlen).

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