Dreieckszahlen nach Pythagoras
1 3 6 10 (Tetraktys) ... 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153,
...
Die Dreieckszahlen entstehen durch Summenbildung der natürlichen Zahlen: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n
Die n-te Dreieckszahl ist
Aufgaben und Eigenschaften
1) Bestimme die Summe der
ersten 36 natürlichen Zahlen.
2) 40 Personen treffen sich, wobei jeder jedem die Hand schüttelt.
Wie viele Hände werden geschüttelt?
3) 10 Fußballmannschaften organisieren ein Fußballturnier,
wobei alle Mannschaften gegeneinander spielen sollen.
4) Wie viele Verbindungslinien gibt es zwischen den Punkten eines
15-Ecks?
5) Was ist die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen?
6) Was ist die Differenz der Quadrate zweier aufeinanderfolgender
Dreieckszahlen?
7) K. F. Gauß: Eintragung in sein Tagebuch am 10.7.1796:
num
= Δ
+
Δ + Δ Dreieckszahlen als Quasten in den Wappen von kath. Bischöfen und Kardinälen Viereckszahlen (Quadratzahlen) nach Pythagoras
1 4 9 16 ... 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, ... Die „Steinchen", die von einer Viereckszahl auf die nächste dazukommen,
heißen
Gnomon.
Die Viereckszahlen entstehen durch die Summe der
ungeraden Zahlen 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n
– 1),
Die n-te Viereckszahl ist n2. Eigenschaften 1) Die Summe der ungeraden Zahlen bis 2n–1 ist die Quadratzahl n2: 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2 2) Jede Quadratzahl lässt sich als Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen darstellen, s.o. 5). 3) Das 8-fache einer Dreieckszahl + 1 = Quadratzahl.
Fünfeckszahlen (Pentagonalzahlen)
1
5
12
22
…
1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210,
247, 287, 330, 376, …
Jedes neue Fünfeck entsteht aus dem vorherigen Fünfeck, indem man drei
Seiten des neuen Fünfecks hinzufügt mit 4, 7, 10, … Punkten. Es entsteht so bei der n-ten Fünfeckszahl die arithmetische Folge 1 + 4 + 7 + 10 + … (3n – 2).
Für die arithmetische Reihe mit Anfangsglied a1
= 1 und Abstand d = 3 ergibt sich in die
Formel
eingesetzt für die n-te Fünfeckszahl
F(n) = n٠1
+ 1/2 n (n – 1)٠3 = 1/2 n (3n – 1)
Kartenhauszahlen
Ändert man in obiger Formel das Rechenzeichen – zu
+, so erhält man die n-te Kartenhauszahl K(n) = 1/2 n
(3n + 1)
Folge der Kartenhauszahlen: 2, 7, 15, 26, 40, 57,
77, 100, 126, 155, . . .
2
7
15
26
Legt man beim Kartenhausaufbau die unterste Karte
mit aus, so erhält man folgende Zahlenfolge: 3, 9, 18, 30, 45, 63, 84, 108,
135, 165, . . .
3
9
18
30 . .
.
Die n-te Zahl der Zahlenfolge ist dann
K*(n) = 3/2 n (n + 1).
n-Eckszahlen
Diophantos von Alexandria
löste das Problem für beliebige Polygone und den zugeordneten k-Eckszahlen.
Der Wert der n-ten k-Eckszahl Pk(n) beträgt:
Andere Darstellung:
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