Komplexere gotische Fensterform

Drittes Seitenfenster oben rechts vom Südportal des Regensburger Doms als Beispiel für eine komplexere gotische Fensterform 

Näherungskonstruktion

Gegeben:  Kämpferlinie [AB], drei gleichseitige Dreiecke AES₂, QRS und FBS2’, Kreise und Kreisbögen sollen sich berühren,

Gesucht:    (Lage der Kämpferpunkte K und K’)

Lösungsansätze mit Hilfe des Satzes von Pythagoras:

(1) 

(2) 

(3) 

(4) 

(5) 

Dies ist ein überbestimmtes Gleichungssystem.

Bereits 4 Gleichungen, z.B. (1), (3), (4) und (5), genügen, um die Variablen k, r, x und z zu berechnen.

1. Auflösen von (3) nach k:  (3’)  

2. Einsetzen in (1), (4) und (5)

3. Lösen von 3 Gleichungen mit den 3 Lösungsvariablen r, x und z.

Als Näherungslösungen ergeben sich mit Hilfe von Derive 5.0 für a = 4 folgende Werte:
y  1,732,   r  1,728,  k  1,527,  x  3,152,  z  3,051.

In Gleichung (2) eingesetzt ergibt die linke Seite den Wert 13,935, die rechte Seite den Wert 13,899. Daraus folgt, dass die Konstruktion nicht exakt sondern nur in guter Näherung möglich ist. Es ist zu vermuten, dass beim Maßwerk dieses Fensters von r = y ausgegangen wurde.

Damit lässt sich M₂ näherungsweise konstruieren durch
1) Kreis um R mit Radius a + y,
2) Kreis um M₁ mit Radius ½ a + y.

K lässt sich mit Hilfe von (3’) konstruieren oder in Näherung als Schnittpunkt von M₂’Q und AB.

Maßwerk des oberen Fensterbereichs ohne Pässe

Die drei inneren kongruenten Spitzbögen basieren auf drei gleichseitigen Dreiecken AES₂, QRS₁ und FBS₂’ und werden folgendermaßen konstruiert:

In den Kreisen mit Mittelpunkt M₁, M₂ und M₂’ befinden sich jeweils Vierpässe der Art Vp2, in den Kreisen mit Mittelpunkt M₃, M₃’ und M₄ sind Dreipässe der Art Dp1. Die kleinen Spitzbögen sind jeweils Kleeblattbögen Kb2.

Zur Kontrolle:  Überdeckung von Bild und Konstruktion

Die Konstruktionen wurden mit dem Programm DynaGeo (Euklid) V 1.5a durchgeführt.

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