Die geometrische Reihe

Eine geometrische Folge ist eine regelmäßige mathematische Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass das Verhältnis zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist. Das n-te Glied a_n einer geometrischen Folge mit dem Anfangsglied a und dem Quotienten q berechnet sich aus 

a₁ =  a· q ^n-1

a₁ = a,  a₂ = aq,  a₃ = aq²,  a₄ = aq³, …

Eine geometrische Reihe ist die Folge, deren n-tes Glied die Summe der ersten n Glieder der zugehörigen geometrischen Folge ist:

s_n =  a + aq + aq² + aq³ + …+ aq^n-1 .

Formel zur Berechnung der geometrischen Reihe

Herleitung:

I           s_n =  a + aq + aq² + aq³ + …+ aq^n-1

II       s_n q =  aq + aq² + aq³ + aq⁴ + …+ aqⁿ

I-II   s_n - s_n q =  a - aqⁿ

         s_n (1- q) =  a (1- qⁿ)

Formel:     

Eine unendliche geometrische Reihe entsteht, wenn bei der geometrischen Reihe n gegen Unendlich geht:

Für |q| < 1 gilt:      für    .

Dann ergibt sich als Grenzwert für die unendliche geometrische Reihe:

Für q>1 steigen die Werte von s_n exponentiell an.

Beispiel:   

Für a = 2 und q = 0,75 ergibt sich als Grenzwert 8.

Dies lässt sich an Hand folgender graphischen Darstellung veranschaulichen:
  

Die Treppenlinie zwischen den Graphen der Funktionen mit den Gleichungen f(x) = 0,75 x und  g(x) = x -2 besitzt folgende Eigenschaften:

1. Die Dreiecke A₁A₂A₃, A₃A₄A₅, A₅A₆A₇, ... sind alle gleichschenklig rechtwinklig und haben damit gleiche Kathetenlängen. 

2. Die Dreiecke OA₁A₂, A₂A₃A₄, A₄A₅A₆, ... besitzen die Steigung q als Quotient zwischen senkrechter und waagrechter Kathetenlänge.

3. Die senkrechten Projektionen der waagrechten Katheten auf die x-Achse stellen die Glieder der geometrischen Reihe dar.

4. Die Summe der projizierten Streckenlängen liefert als Grenzwert den Wert 8.

Graphische Veranschaulichung dynamisch

Geometrische Reihen von ineinander geschachtelten regulären Vielecken

Dreieckreihe

Der Flächeninhalt des großen gleichseitigen Dreiecks sei 1.

Das jeweils nachfolgende Dreieck hat nur 1/4 des Flächeninhalts des vorhergehenden Dreiecks.

Summe A(n) der n Dreiecksflächen:

Dies ist eine geometrische Reihe mit a = 1 und q = 1/4 und dem Grenzwert

Die Summe der Flächeninhalte des Dreiecks und der nachfolgenden Dreiecke beträgt 4/3.

Quadratreihe

Der Flächeninhalt des großen Quadrats sei 1.

Das jeweils nachfolgende Quadrat hat nur den halben Flächeninhalt des vorhergehenden Quadrats.

Summe A(n) von n Quadratflächen:

Dies ist eine geometrische Reihe mit a = 1 und q = 1/2 und dem Grenzwert

Die Summe der Flächeninhalte des Quadrats und der nachfolgenden Quadrate beträgt 2.

Fünfeckreihe

   Flächeninhalt des regulären Fünfecks mit der Seitenlänge a:

   A₁ = 1/4√(24+10√5) a²

Berechnung von b:
b² = (a/2)² + (a/2)² – 2(a/2)² cos(108°)  (Kosinussatz)

b² = a²/2 (1 – (1 – √5)/4 ) = (3 + √5)/8 a²

b = (1 + √5)/4 a

A₂ = 1/4√(24+10√5) (3+√5)/8 a²

A₂ / A₁ = (3+√5)/8 ≈ 0,655

Der Flächeninhalt des großen Fünfecks sei 1.

Bei der Addition der Flächeninhalte der ineinander geschachtelten Fünfecke mit der Summe A(n) entsteht eine geometrische Reihe
mit a = 1 und q = (3+√5)/8 und dem Grenzwert

Die Summe der Flächeninhalte des Fünfecks und der nachfolgenden Fünfecke beträgt ungefähr 2,894.

Sechseckreihe

   Flächeninhalt des regulären Sechsecks mit der Seitenlänge a: A₁ = 3√3/2 a²

Berechnung von b:
b² = (a/2)² + (a/2)² – 2(a/2)² cos(120°)  (Kosinussatz)

b² = a²/2 (1 + 0,5) = 3/4 a²
b = √3/2 a

Flächeninhalt A₂ des Sechsecks mit der Seitenlänge b:

A₂ = 3√3 /2 (√3/2)² a² = 9 √3/8 a²

Daraus folgt:

A₂ / A₁ = 3/4

Der Flächeninhalt des großen Sechsecks sei 1.

Dann ist der Flächeninhalt des nachfolgenden Sechsecks 3/4 des vorhergehenden Sechsecks.

Summe A(n) der n Sechseckflächen:

Dies ist eine geometrische Reihe mit a = 1 und q = 3/4 und dem Grenzwert

Die Summe der Flächeninhalte des Sechsecks und der nachfolgenden Sechsecke beträgt 4.

Dreieckreihe im Achteck

Flächeninhalt einer Dreieckreihe im regulären Achteck:

A_△ = 1/2 a² (1 + (√2 – 1)² + (√2 – 1)⁴ + . . . + (√2 – 1)²ⁿ + . . .)

In der Klammer steht eine unendliche geometrische Reihe mit dem ersten Glied 1 und dem konstanten Quotienten q² = (√2 – 1)².

Als Grenzwert für die unendliche geometrische Reihe ergibt sich:

Der Flächeninhalt von 8 Dreieckreihen ergibt den Flächeninhalt eines regulären Achtecks:

A₈ = 8·1/4 (1 + √2) a² = 2 (1 + √2) a²

Achilles und die Schildkröte - Zenons Paradoxon

Achilles und die Schildkröte machen einen Wettlauf. Die superschnelle Schildkröte sei zehnmal langsamer als Achill. Beim Start habe die Schildkröte einen Vorsprung von 10 m.

Dann hat die Schildkröte 1 m zurückgelegt, wenn Achilles gerade 10 m gelaufen ist. Wenn Achilles weiter 1 m zurückgelegt hat, dann ist ihm die Schildkröte 1/10 mal 1 m = 10 cm voraus usw.

Zenon von Elea (5. Jhd. v. Chr.) behauptet nun, dass streng logisch gesehen die Schildkröte dem Achilles immer ein kleines Stück Weges voraus ist und damit die Schildkröte nie einholen kann.

Mathematisch gesehen handelt es sich um eine geometrische Reihe, in Meter:

s_n = 10 + 1 + 0,1 + 0,001 + … + 0,1^n-2  

Mit a = 10, q = 0,1 ergibt sich der Grenzwert

s_n = 10 ∙ 1 / (1 – 0,1) = 100 / 9 = 11,11111…

Nach 11 1/9 m holt Achill die Schildkröte ein.

Quadratreihe 2

Zwischen der positiven x-Achse und der Geraden y = m∙x werden, wie abgebildet, Quadrate aneinandergereiht.

Als Summe der Quadratflächeninhalte ergibt sich die geometrische Reihe

(a∙m)² (1  + (1+m)² + (1+m)⁴ + … + (1+m)^2n-2) = (a∙m)² (1– (1+m) ²ⁿ)/(1– (1+m)²),

wobei der Flächeninhalt des nachfolgenden Quadrats um den Faktor (1+m)² größer als der Flächeninhalt des vorhergehenden Quadrats ist und q = 1+m.

Mit a=1 und q = 1+m ergibt sich die geometrische Reihe

(q–1)² (1– q²ⁿ) / (1– q²) = (q–1)(q²ⁿ –1) / (q + 1)

Als Funktion f(x) = (q – 1)/(q + 1)∙(q^2x – 1) stellt sie eine Exponentialfunktion dar.

Mit m = 0,4 und q = 1,4 ergibt sich f(x) = 1/6 ∙ (1,4^2x – 1), x ≥ 0.

      Graph von f

Tabelle der Quadratreihe

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