Ineinander geschachtelte reguläre (regelmäßige) Vielecke

Reguläre Vielecke werden wie dargestellt ineinander geschachtelt. Dabei wird der Inkreis des vorhergehenden regulären Vielecks zum Umkreis des nachfolgenden regulären Vielecks. In- und Umkreise sind konzentrische Kreise mit gemeinsamen Mittelpunkt M.


 

Verhältnis Inkreis zu Umkreis im regulären n-Eck:

 

 

Im regulären n-Eck mit dem

Inkreisradius rin und dem Umkreisradius run gilt:

rin / run  =  cos(π/n) 

rin  =  cos(π/n) ٠ run 

 

 

 

Aus dem Inkreis des regulären n-Ecks wird der Umkreis des regulären (n+1)-Ecks und so werden der Reihe nach gleichseitiges Dreieck, Quadrat, reguläres Fünfeck, reguläres Sechseck usw. ineinander geschachtelt.

Der Umkreisradius ru3 des gleichseitigen Dreiecks habe den Wert 1.

Der Inkreisradius ri3 ist gleich dem Umkreisradius ru4 und hat dann den Wert
ru4 = ri3 = cos(π/3) = 0,5

Der Inkreisradius ri4 ist gleich dem Umkreisradius ru5 und hat dann den Wert
ru5 = ri4 = cos(π/3) ٠ cos(π/4) = √2/4 ≈ 0,3536

Der Inkreisradius rin ist gleich dem Umkreisradius run+1 und hat dann den Wert
run+1 = rin = cos(π/3) ٠ cos(π/4) ٠ cos(π/5)٠٠ cos(π/n)

Für n → ∞ ergibt sich der Grenzwert ru = ri 0,1150043965.

In obiger Figur ist der Grenzkreis als kleiner roter Kreis dargestellt.

  


Zurück
Zurück zur Startseite