Ineinander geschachtelte reguläre
(regelmäßige) Vielecke
Reguläre Vielecke werden wie dargestellt ineinander
geschachtelt. Dabei wird der Inkreis des vorhergehenden regulären Vielecks
zum Umkreis des nachfolgenden regulären Vielecks.
In- und Umkreise sind konzentrische Kreise mit gemeinsamen Mittelpunkt M.
Verhältnis Inkreis zu Umkreis im
regulären n-Eck:
Im regulären n-Eck mit dem
Inkreisradius rin und dem
Umkreisradius run gilt:
rin / run
= cos(π/n)
rin
= cos(π/n)
٠ run
Aus dem Inkreis des regulären n-Ecks wird der
Umkreis des regulären (n+1)-Ecks und so werden der Reihe nach gleichseitiges
Dreieck, Quadrat, reguläres Fünfeck, reguläres Sechseck usw. ineinander
geschachtelt.
Der Umkreisradius ru3 des gleichseitigen Dreiecks habe den
Wert 1.
Der Inkreisradius ri3 ist gleich
dem Umkreisradius ru4 und hat dann den Wert ru4 =
ri3 = cos(π/3) = 0,5
Der Inkreisradius ri4 ist gleich
dem Umkreisradius ru5 und hat dann den Wert ru5 =
ri4 = cos(π/3) ٠
cos(π/4) = √2/4 ≈ 0,3536 …
Der Inkreisradius rin ist gleich
dem Umkreisradius run+1 und hat dann den Wert run+1
= rin = cos(π/3) ٠
cos(π/4) ٠
cos(π/5)٠ …
٠ cos(π/n)
Für n → ∞ ergibt sich der
Grenzwert ru∞ = ri∞ ≈
0,1150043965.
In obiger Figur ist der
Grenzkreis als kleiner roter Kreis dargestellt.
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