Das sphärische Dreieck (Kugeldreieck)

Flächeninhalt des sphärischen Dreiecks

Das sphärische Dreieck wird auf der Kugeloberfläche von drei Großkreisen begrenzt.
Die Mittelpunkte der Großkreise fallen mit dem Mittelpunkt der Kugel überein.
Es werden nur sog. Eulersche Dreiecke betrachtet, deren Innenwinkel kleiner als 180° sind.

Die Winkel α, β und γ des sphärischen Dreiecks ABC sind gegeben durch die Tangenten in den Punkten A, B und C an die Großkreise k1, k2 und  k3.

Der Flächeninhalt des sphärischen Dreiecks beträgt AABC = (α + β + γ - π) r²

Begründung: 

Das Zweieck AA‘ durch B und C besitzt den Flächeninhalt Aα = 2αr².
α
: 2π  =  Aα : 4πr²,  daraus folgt:  Aα = 2αr²  ( 360° im Bogenmaß)

Entsprechend gilt:  Aβ = 2βr²  und  Aγ = 2γr² (Zweieck CC‘ oberhalb von C mit ΔABC statt ΔA’B’C‘).

Die drei Zweiecke mit den Flächeninhalten  Aα, Aβ und Aγ überdecken eine Halbkugeloberfläche, wobei die Fläche des sphärischen Dreiecks AABC zusätzlich zweimal überdeckt wird. Der halbe Kugeloberflächeninhalt ist 2πr². Daraus folgt:

2AABC = (2αr² + 2βr² + 2γr² 2πr²)
AABC = (α + β + γ π) r²

Für die Winkelsumme α + β + γ eines sphärischen Eulerschen Dreiecks gilt dann:

α + β + γ = AABC / r² + π.

Daraus folgt:  Die Winkelsumme im sphärischen Dreieck ist stets größer als π = 180°.

Der Seitensinussatz des sphärischen Dreiecks

Die Punkte A, B und C liegen auf Großkreisen der Kugeloberfläche und bilden das sphärische Dreieck ABC. Der Radius der Kugel und der Großkreise sei zur Vereinfachung gleich 1.Der Mittelpunktswinkel ε zum Kreisbogen a hat im Bogenmaß den gleichen Wert.
a : 2rπ = ε : 360° mit r = 1 folgt: a ≙ ε (a im Bogenmaß, ε im Gradmaß).

L ist der Lotfußpunkt von C auf die Ebene E(A,B,M), in der der Kreis k1 liegt.
E ist der Lotfußpunkt von L auf AM und F ist der Lotfußpunkt von l auf BM, wobei gilt: E(E,L,C)
AM  und  E(F,L,C) ⏊ BM.

Man erhält 2 rechtwinklige Dreiecke ELC und FLC.
|EC| = sin(
φ) = sin(b), da im Dreieck MEC  Hypotenuse |MC| = 1.
|FC| = sin(
ε) = sin(a), da im Dreieck MFC Hypotenuse |MC| = 1.
Im Dreieck ALC gilt:  |LC| : |EC| = sin(
α), mit |EC| = sin(b) folgt: |LC| = sin(α)٠sin(b)  (1).
Im Dreieck FLC gilt:  |LC| : ||FC| = sin(
β), mit |FC| = sin(a) folgt: |LC| = sin(β)٠sin(a)  (2).

Aus (2) = (1) folgt:   sin(β)٠sin(a)  = sin(α)٠sin(b)  oder   sin(a) : sin(b) = sin(α) : sin(β).

Entsprechend lässt sich folgern:  sin(b) : sin(c) = sin(β) : sin(γ).

Zusammenfassend gilt der Seitensinussatz:
                         sin(a) : sin(b) : sin(c) = sin(
α) : sin(β) : sin(γ).

 

Der Seitenkosinussatz des sphärischen Dreiecks


GF || EL  und  HL || GE.

|EM| = cos(φ) = cos(b) (1), da im Dreieck MEC Hypotenuse |MC| = 1.
|LF| : |FC| = cos(
β), mit |FC| = sin(a) folgt:
|LF| = sin(a)٠cos(
β)
|EM| = |EG| + |GM| und |EG| = |LH|
LFH = AMB = ω, da die Schenkel paarweise aufeinander senkrecht stehen,
|LH| : |LF| = sin(
ω) = sin(c), daraus folgt:
|EG| = |LH| = sin(a)٠cos(
β)٠sin(c) (2)

|FM| = cos(ε) = cos(a), da im Dreieck MFC Hypotenuse |MC| = 1, und |GM| : |FM| = cos(ω) = cos(c). Daraus folgt:  |GM| = cos(a)٠cos(c)  (3).

Aus (1), (2) und (3) folgt der Seitenkosinussatz: 

cos(b) = cos(a)٠cos(c) + sin(a)٠sin(c)٠cos(β), und entsprechend hergeleitet
cos(a) = cos(b)
٠cos(c) + sin(b)٠sin(c)٠cos(α)
cos(c) = cos(a)
٠cos(b) + sin(a)٠sin(b)٠cos(γ)
 

  

Der Winkelkosinussatz des sphärischen Dreiecks

Herleitung des Winkelkosinussatzes mit Hilfe des Polardreiecks:

Das Polardreieck ApBpCp erhält man wenn man die Normalen zu den Großkreisebenen E1, E2 und E3 im Linksdrehsinn mit der Kugeloberfläche schneidet.

Die Mittelpunktswinkel zu den Seiten ap, bp und cp des Polardreiecks seien α‘, β‘ und γ‘. Es gilt:
α‘ = α, γ‘ = γ und β‘ = 180°– β.

ap = α, cp = γ, bp = π – β (Winkel im Bogenmaß) und βp = π – b.

Einsetzen der Werte für das Polardreieck in den Seitenkosinussatz
cos(bp) = cos(ap)٠cos(cp) + sin(ap)٠sin(cp)٠cos(
βp) liefert:

cos(π – β) = cos(α)٠cos(γ) + sin(α٠sin((γ)٠cos(π – b)

– cos(β) = cos(α)٠cos(γ) sin(α٠sin((γ)٠cos(b)   | ٠(–1)

Ergebnis: Winkelkosinussatz

cos(β) = cos(α)٠cos(γ) + sin(α٠sin((γ)٠cos(b),   entsprechende Herleitung für

cos(α) = cos(β)٠cos(γ) + sin(β ٠sin((γ)٠cos(a)  

cos(γ) = cos(α)٠cos(β) + sin(α ٠sin((β)٠cos(c)  

 

 

Die Seitenlängen des sphärischen Dreiecks

Auf einer Kugeloberfläche mit Kugelradius r ist ein sphärisches Dreieck gegeben, deren Seiten Bogen von Großkreisen der Kugel sind. Bei gegebenen Mittelpunktswinkeln zu den Seiten des sphärischen Dreiecks lassen sich die Seitenlängen berechnen:

a = ε/180°٠rπ, b = φ/180°٠rπ und c = ω/180°٠rπ,  (ε, φ und ω im Gradmaß)

Das rechtwinklige sphärische Dreieck

Die Punkte A, B und C liegen auf Großkreisen der Kugeloberfläche und bilden das sphärische Dreieck ABC. Die Mittelpunkte der Großkreise fallen mit dem Mittelpunkt der Kugel – hier im Ursprung des Koordinatensystems – überein.

Die Bogen (Seiten) a, b und c des sphärischen Dreiecks ABC besitzen die Mittelpunktswinkel ε, φ und ω. Für r = 1 gilt:
a : 2π = ε : 360°,  a = ε : 360°٠2π oder  a = ε : 180°٠ π, daraus folgt:
a
ε, b φ und c ω (a, b und c im Bogenmaß, ε, φ und ω im Winkelmaß)

Die Großkreise k1, k2 und k3 sind die Schnittkreise der Kugeloberfläche K mit den Ebenen E1, E2 und E3 durch die Punkte A, B, C und Mittelpunt M der Kugel (gleich Ursprung des Koordinatensystems),
k
1 ϵ E1(A,B,M) = xy-Ebene, k2 ϵ E2(B,C,M) E1 und k3 ϵ E3(A,C,M).

 

Behauptung:  Mit CBA = 90° gilt:   cos(a)٠cos(c) = cos(b)

Begründung:

Zur Vereinfachung sei der Radius der Kugel gleich 1.

Im rechtwinkligen Dreieck MDC gilt:  |MD| : |MC| = cos(b) mit |MC| = 1 folgt:
|MD| = cos(
b)  (1)

Im rechtwinkligen Dreieck MEC gilt:  |ME| : |MC| = cos(a) mit |MC| = 1 folgt:
|ME| = cos(
a)

Im rechtwinkligen Dreieck DEM gilt: 
|MD| : |ME| = cos(
c)  mit  |ME| = cos(a)  folgt: |MD| = cos(a)٠cos(c)  (2)

Aus (1) und (2) folgt:  cos(a)٠cos(c) = cos(b)

Entsprechend gilt:

BAC = 90°:   cos(b)٠cos(c) = cos(a)
ACB = 90°:   cos(a)
٠cos(b) = cos(c)

 


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