Vollkommene (perfekte) Zahlen

Vollkommene (perfekte) Zahlen sind gleich der Summe ihrer echten Teiler. 

Z.B.  6 = 1 + 2 + 3,  28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 , usw. 
Vollkommene Zahlen haben die Form  2^(p–1) (2^p – 1), wobei 2^p –1 eine sog. Mersennesche Zahl ist mit einer speziellen Primzahl p als Exponenten.

Mersennesche Zahlen  2^p – 1 sind für folgende Primzahl-Exponenten selbst prim:

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, ...

(Marin Mersenne, französischer Mönch, 1588-1648)

Satz (Euklid):

Ist für eine natürliche Zahl n die Zahl p = 1 + 2 + 4 +...+ 2^n–1 = 2ⁿ – 1 eine Primzahl, dann ist p  2^n–1 eine vollkommene Zahl.

Die ersten sieben vollkommenen Zahlen:

6 = 1 + 2 + 3 = 2 (2²  – 1)

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 2² (2³ – 1)

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 2⁴ (2⁵ – 1)

8 128 = 1 + 2 + 4 + ... + 64 + 127 + ... + 4064 = 2⁶ (2⁷ – 1)

33 550 336 = 1 + ... + 4096 + 8191 + ... + 16775168 = 2¹² (2¹³ – 1)

8 589 869 056 = 1 + ... + 65536 + 131071 + ... + 4294934528 = 2¹⁶ (2¹⁷ – 1)

137 438 691 328 = 1 + ... + 262144 + 524287 + ... + 68719345664 = 2¹⁸ (2¹⁹ – 1)

...

Den Pythagoräern (Pythagoreern) waren die ersten vier vollkommenen Zahlen bekannt:  6,  28,  496,  8128

Vollkommene Zahlen sind Dreieckszahlen und enden auf die Ziffer 6 oder 8.

6 = 1 + 2 + 3 = 1 + 2 + (2² – 1)

28 = 1 + 2 + 3 + ... + 7 = 1 + 2 + 3 + ... + (2³ – 1)

496 = 1 + 2 + 3 + ... + 31 = 1 + 2 + 3 + ... + (2⁵ – 1)

8 128 = 1 + 2 + 3 + ... + 127 = 1 + 2 + 3 + ... + (2⁷ – 1)

33 550 336 = 1 + 2 + 3 + ... + 8191 = 1 + 2 + 3 + ... + (2¹³ – 1)

8 589 869 056 = 1 + 2 + 3 + ... + 131071 = 1 + 2 + 3 + ... + (2¹⁷ – 1)

137 438 691 328 = 1 + 2 + 3 + ... + 524287 = 1 + 2 + 3 + ... + (2¹⁹ – 1)

Allgemeine Lösung:  p ϵ ℕ  :  2^(p–1) (2^p – 1) = 1 + 2 + 3 + ... + (2ⁿ  – 1)

                                   p ist Primzahl zu Mersennescher Zahl

Vollkommene Zahlen, außer 6, sind die Summe der ungeraden Zahlen in der dritten Potenz:

(6, mit p=2, passt nicht in das Muster!)

28 = 1³ + 3³ = 1³ + (2^(3+1)/2 –  1)³

496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ = 1³ + 3³ + 5³ + (2^(5+1)/2 –  1)³

8 128 = 1³ + 3³ + ... + 15³ = 1³ + 3³ + ... + (2^(7+1)/2 –  1)³

33 550 336 = 1³ + 3³ + ... + 127³ = 1³ + 3³ + ... + (2^(13+1)/2 –  1)³

8 589 869 056 = 1³ + 3³ + ... + 511³ = 1³ + 3³ + ... + (2^(17+1)/2 –  1)³

137 438 691 328 = 1³ + 3³ + ... + 1023³ = 1³ + 3³ + ... + (2^(19+1)/2 – 1)³

...

Vermutung:   2^(p-1) (2^p – 1) = 1³ + 3³ + ... + (2^(p+1)/2 – 1)³  ist vollkommene Zahl, 

                         p ist Primzahl zu Mersennescher Zahl

Bisher sind keine ungeraden vollkommenen Zahlen bekannt. Computer haben bisher gezeigt, dass es keine ungeraden vollkommenen Zahlen kleiner als 10³⁰⁰ gibt.

Befreundete Zahlen

Zwei verschiedene natürliche Zahlen, von denen jeweils eine Zahl gleich der Summe der echten Teiler der anderen Zahl ist, heißen befreundete Zahlen.

Das kleinste befreundete Zahlenpaar ist (220, 284).

Summe der echten Teiler von 220:  1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284.

Summe der echten Teiler von 284: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Befreundete Zahlenpaare:

(220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), . . . (Folge A259180 in OEIS)

Praktische Zahlen

Eine praktische Zahl ist eine natürliche Zahl n ϵ ℕ mit der Eigenschaft, dass jede kleinere Zahl als Summe von paarweise verschiedenen echten Teilern der Zahl n dargestellt werden kann.

Beispiele:

6 hat die echten Teiler 1, 2, 3:
1 = 1, 2 = 2, 3 = 3, 4 = 3 + 1, 5 = 3 + 2

8 hat die echten Teiler 1, 2, 4:
1 = 1, 2 = 2, 3 = 2+1, 4 = 4, 5 = 4+1, 6 = 4+2, 7 = 4+2+1

12 hat die echten Teiler 1, 2, 3, 4, 6:
1 = 1, 2 = 2, 3 = 3, 4 = 4, 5 = 4+1, 6 = 6, 7 = 6+1, 8 = 6+2, 9 = 6+3, 10 = 6+4, 11 = 6+4+1

…

Menge der praktischen Zahlen:

{1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, …}

Teilmengen:

Jede Zweierpotenz ist eine praktische Zahl:
{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …}

Alle geraden vollkommenen Zahlen sind praktische Zahlen:
{6, 28, 496, 8128, 33550336, …}

Alle Zahlen der Form  n = 2^k-1 (2^k – 1)  mit k ϵ ℕ und k > 1 sind praktische Zahlen:
{6, 28, 120, 496, 2016, 8128, 32640, 130816, …, 33550336, …}

Eigenschaften:

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier praktischer Zahlen ist wieder eine praktische Zahl,
z.B. kgV(24, 30) = 120

Sei n ϵ ℕ das Produkt von Potenzen der ersten k Primzahlen, dann ist n eine praktische Zahl.
n = p₁^c1 ٠ p₂^c2 ٠… ٠ p_k^ck  mit p₁ < p₂ < … < p_k  mit c1, c2, …, ck  > 0

Jede natürliche Zahl n ϵ ℕ kann dargestellt werden als Summe zweier praktischen Zahlen.