Anzahl von Primzahlen

Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl größer als 1 ,
die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist.

Die Primzahlen bis 1000:

  2   3   5   7  11  13  17  19  23  29

 31  37  41  43  47  53  59  61  67  71

 73  79  83  89  97 101 103 107 109 113

127 131 137 139 149 151 157 163 167 173

179 181 191 193 197 199 211 223 227 229

233 239 241 251 257 263 269 271 277 281

283 293 307 311 313 317 331 337 347 349

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409

419 421 431 433 439 443 449 457 461 463

467 479 487 491 499 503 509 521 523 541

547 557 563 569 571 577 587 593 599 601

607 613 617 619 631 641 643 647 653 659

661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

739 743 751 757 761 769 773 787 797 809

811 821 823 827 829 839 853 857 859 863

877 881 883 887 907 911 919 929 937 941  

947 953 967 971 977 983 991 997

Bereits um 300 v. Chr. hat Euklid bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt und dass jede natürliche Zahl entweder eine Primzahl ist oder als Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann.

Primzahlfunktion p(x) = Anzahl aller Primzahlen, die kleiner oder gleich der natürlichen Zahl x ist.

Tabelle:

Beispiel:  p(11) = 5,  p(1000) = 168

Der Graph von p(x) ist eine Treppenfunktion:

Die Frage, ob sich p(x) durch eine mathematische Funktion nähern lässt, beschäftigt Mathematiker seit über 200 Jahren.

Definition:

Zwei Funktionen f(x) und g(x) heißen asymptotisch gleich, falls     .

Schreibweise:  .

Näherung durch Carl Friedrich Gauß (1792):   (Graph rot)

Bessere Näherung durch C. F. Gauß (1849):   (Graph grün)

In der graphischen Darstellung wird für große x der Unterschied zwischen den Graphen von Li(x) (grün) und p(x) (schwarz) immer geringer.

Abschätzung durch Tschebyscheff  (1850):  

Primzahlsatz von Hadamard und de la Vallée-Poussin (1896) :  

Folgerungen:       ,    

Der Graph von p(x) geht für x gegen unendlich gegen unendlich, wird aber immer flacher.  

Eine noch bessere Näherung lieferte Bernhard Riemann (1859) mit der Riemannschen R-Funktion 
                                            

und der Möbiusfunktion μ(n):

• μ(n) = 1 für n = 1
• μ(n) = 0, wenn in der Primfaktorzerlegung von n mindestens ein Primfaktor mehrfach vorkommt
• μ(n) = (-1)^k, wenn die Primfaktorzerlegung von n aus k verschiedenen Primfaktoren besteht

Riemannsche Zetafunktion:   

Andere Schreibweise mit Hilfe der Zetafunktion: 
                                           

Vergleich der Genauigkeit von Li(x) und R(x) im Vergleich zu p(x)

¹⁾ Auf Einer gerundet

Bemerkung:

Riemann hat die Zetafunktion auf komplexe Argumente z verallgemeinert.

Dabei ist er auf Eigenschaften der komplexen Funktion gestoßen, die eine Korrektur des Fehlers bei der Näherung von π(x) ermöglicht.

Bei der Untersuchung der Nullstellen der komplexen Zetafunktion hat er vermutet, dass die Zetafunktion außer den reellen Nullstellen nur auf der Geraden:  Realteil(z) = 0,5  weitere unendlich viele Nullstellen besitzt.

Diese sogenannte Riemannsche Vermutung spielt in der Zahlentheorie eine große Rolle,  konnte aber bisher noch nicht bewiesen werden. Für den richtigen Beweis wurde 1 Million $ gestiftet.

Buchempfehlung:

Marcus du Sautoy:  Die Musik der Primzahlen  Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik