Wie zufällig sind die Primzahlen verteilt?

Um zu testen, wie zufällig Primzahlen verteilt sind, bietet sich folgendes Vorgehen an.

Es werden gleich lange Reihen von natürlichen Zahlen gebildet. Dann wird jeweils pro Zeile die Anzahl der Primzahlen bestimmt. Schließlich wird die relative Häufigkeit der Anzahl der Primzahlen als Zufallsgröße für eine vorgegebene Anzahl von Zeilen rechnerisch ermittelt und graphisch dargestellt.

Der Erwartungswert sei μ(s), die Standardabweichung σ(s),
s = Anzahl der natürlichen Zahlen pro Reihe.

Es lässt sich nun eine Binomialverteilung auf Grund des Erwartungswertes μ(s) und der Standardabweichung σ(s) zuordnen:

μ(s)  =  n p     und   [σ(s)] ²  =   n p (1–p).

Daraus folgt für p und n der Binomialverteilung:

    und   

Da n eine natürliche Zahl ist, muss gerundet werden.

Falls nun der Erwartungswert und die Standardabweichung der Binomialverteilung gut mit den entsprechenden Werten der relativen Häufigkeit der Anzahl der Primzahlen pro Zeile  übereinstimmen, kann man auf Grund der Güte der Übereinstimmung  der Verteilungen Folgerungen über die Zufälligkeit der Verteilung der Primzahlen ziehen. 

Folgende Beispiele zeigen die rechnerische und graphische Umsetzung mit einem Delphi-Programm:

Primzahlen zwischen 967 und  99 981, Zeilenbreite 69

Primzahlen zwischen 3 999 961 und  4 999 950, Zeilenbreite 90

Da die Binomialverteilung eine Zufallsverteilung wiedergibt, ist auf Grund der guten Übereinstimmung der Verteilungen der Schluss naheliegend, dass die Verteilung der Primzahlen in Intervallen mit großer Intervallbreite in Näherung zufällig binomialverteilt erfolgt.